Номер 871, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 871, страница 257.

Условие.

871 1) $ \sin 5x + \cos (2x - 3) $;

2) $ e^{2x} - \ln 3x $;

3) $ \sin (x - 3) - \ln (1 - 2x) $;

4) $ 6 \sin \frac{2x}{3} - e^{1-3x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = \sin 5x + \cos(2x - 3)$ мы используем правило дифференцирования суммы и цепное правило (производная сложной функции).
Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.
Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.
Первое слагаемое: $(\sin 5x)'$. Это сложная функция, где внешняя функция — синус, а внутренняя — $5x$. По цепному правилу, $(\sin(f(x)))' = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$.
$(\sin 5x)' = \cos(5x) \cdot (5x)' = \cos(5x) \cdot 5 = 5\cos 5x$.
Второе слагаемое: $(\cos(2x - 3))'$. Это также сложная функция, где внешняя функция — косинус, а внутренняя — $2x - 3$. По цепному правилу, $(\cos(f(x)))' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$.
$(\cos(2x - 3))' = -\sin(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = -\sin(2x - 3) \cdot 2 = -2\sin(2x - 3)$.
Теперь сложим полученные производные:
$y' = (\sin 5x)' + (\cos(2x - 3))' = 5\cos 5x - 2\sin(2x - 3)$.
Ответ: $5\cos 5x - 2\sin(2x - 3)$.

2) Для нахождения производной функции $y = e^{2x} - \ln 3x$ мы используем правило дифференцирования разности и цепное правило.
Производная разности функций равна разности их производных: $(u-v)' = u' - v'$.
Найдем производную каждого члена функции.
Первый член: $(e^{2x})'$. Это сложная функция. По цепному правилу, $(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$.
$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
Второй член: $(\ln 3x)'$. Это сложная функция. По цепному правилу, $(\ln(f(x)))' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$.
$(\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$. (Отметим, что функция определена при $3x > 0$, то есть $x > 0$).
Теперь вычтем вторую производную из первой:
$y' = (e^{2x})' - (\ln 3x)' = 2e^{2x} - \frac{1}{x}$.
Ответ: $2e^{2x} - \frac{1}{x}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \sin(x - 3) - \ln(1 - 2x)$ мы используем правило дифференцирования разности и цепное правило.
Производная разности функций равна разности их производных: $(u-v)' = u' - v'$.
Найдем производную каждого члена функции.
Первый член: $(\sin(x - 3))'$. По цепному правилу:
$(\sin(x - 3))' = \cos(x - 3) \cdot (x - 3)' = \cos(x - 3) \cdot 1 = \cos(x - 3)$.
Второй член: $(\ln(1 - 2x))'$. По цепному правилу (функция определена при $1 - 2x > 0$, т.е. $x < 1/2$):
$(\ln(1 - 2x))' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (1 - 2x)' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{1 - 2x} = \frac{2}{2x - 1}$.
Теперь вычтем вторую производную из первой:
$y' = \cos(x - 3) - \left(-\frac{2}{1 - 2x}\right) = \cos(x - 3) + \frac{2}{1 - 2x}$.
Ответ: $\cos(x - 3) + \frac{2}{1 - 2x}$.

4) Для нахождения производной функции $y = 6 \sin\frac{2x}{3} - e^{1-3x}$ мы используем правило дифференцирования разности, правило константы и цепное правило.
Производная разности функций равна разности их производных: $(u-v)' = u' - v'$.
Найдем производную каждого члена функции.
Первый член: $(6 \sin\frac{2x}{3})'$. Используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ и цепное правило:
$(6 \sin\frac{2x}{3})' = 6 \cdot (\sin\frac{2x}{3})' = 6 \cdot \cos\frac{2x}{3} \cdot (\frac{2x}{3})' = 6 \cdot \cos\frac{2x}{3} \cdot \frac{2}{3} = 4\cos\frac{2x}{3}$.
Второй член: $(e^{1-3x})'$. По цепному правилу:
$(e^{1-3x})' = e^{1-3x} \cdot (1 - 3x)' = e^{1-3x} \cdot (-3) = -3e^{1-3x}$.
Теперь вычтем вторую производную из первой:
$y' = 4\cos\frac{2x}{3} - (-3e^{1-3x}) = 4\cos\frac{2x}{3} + 3e^{1-3x}$.
Ответ: $4\cos\frac{2x}{3} + 3e^{1-3x}$.