Номер 878, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 878, страница 258.

Условие.

878 Закон движения тела задан формулой $s(t) = 0.5t^2 + 3t + 2$ (s — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройден телом за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Какой путь пройден телом за 4 с?

Закон движения тела задан формулой $s(t) = 0,5t^2 + 3t + 2$, где $s(t)$ — это координата тела в метрах в момент времени $t$ в секундах. Путь, пройденный телом за первые 4 секунды, равен разности между его координатой в момент времени $t=4$ с и начальной координатой в момент $t=0$ с.

1. Определим начальную координату тела (при $t=0$):
$s(0) = 0,5 \cdot (0)^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$ м.

2. Определим координату тела в момент времени $t=4$ с:
$s(4) = 0,5 \cdot (4)^2 + 3 \cdot 4 + 2 = 0,5 \cdot 16 + 12 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22$ м.

3. Вычислим пройденный путь $S$ как разность конечной и начальной координат:
$S = s(4) - s(0) = 22 - 2 = 20$ м.

Ответ: 20 м.

Какова скорость движения в этот момент времени?

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $s'(t)$. Это физический смысл производной.

1. Найдем функцию скорости, взяв производную от функции $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (0,5t^2 + 3t + 2)' = 0,5 \cdot 2t + 3 \cdot 1 + 0 = t + 3$.

2. Теперь найдем мгновенную скорость в момент времени $t=4$ с, подставив это значение в полученную формулу скорости:
$v(4) = 4 + 3 = 7$ м/с.

Ответ: 7 м/с.