Номер 879, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Найти производную функции (879—881).

879 1) $y = \cos^2 3x;$

2) $y = \sin x \cos x + x;$

3) $y = (x^3 + 1) \cos 2x;$

4) $y = \sin^2 \frac{x}{2};$

5) $y = (x+1) \sqrt[3]{x^2};$

6) $y = \sqrt[3]{x-1} (x^4 - 1).$

1) Для нахождения производной функции $y = \cos^2 3x$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Функцию можно рассматривать как композицию трех функций: $y=u^2$, где $u=\cos(v)$, и $v=3x$.
Производная находится как произведение производных этих функций: $y' = (u^2)' \cdot (\cos v)' \cdot (3x)'$.
$y' = (2u) \cdot (-\sin v) \cdot 3$
Подставляем обратно $u = \cos(3x)$ и $v = 3x$:
$y' = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\sin(3x)\cos(3x)$.
Для упрощения результата воспользуемся формулой синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому $2\sin(3x)\cos(3x) = \sin(6x)$.
$y' = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(6x)$.
Ответ: $y' = -3\sin(6x)$.

2) Для функции $y = \sin x \cos x + x$ сначала упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \frac{1}{2}\sin(2x) + x$.
Теперь находим производную как производную суммы двух слагаемых:
$y' = \left(\frac{1}{2}\sin(2x) + x\right)' = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' + (x)'$.
Для первого слагаемого применяем цепное правило:
$\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.
Производная второго слагаемого: $(x)' = 1$.
Складываем результаты: $y' = \cos(2x) + 1$.
Ответ: $y' = \cos(2x) + 1$.

3) Для функции $y = (x^3 + 1) \cos 2x$ применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^3 + 1$ и $v = \cos 2x$.
Находим производные каждого множителя:
$u' = (x^3 + 1)' = 3x^2$.
$v' = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.
Подставляем найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 3x^2 \cdot \cos 2x + (x^3 + 1) \cdot (-2\sin 2x) = 3x^2 \cos 2x - 2(x^3 + 1)\sin 2x$.
Ответ: $y' = 3x^2 \cos 2x - 2(x^3 + 1)\sin 2x$.

4) Для функции $y = \sin^2 \frac{x}{2}$ сначала применим тригонометрическую формулу понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
Для $\alpha = \frac{x}{2}$ получаем $y = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x$.
Теперь найти производную гораздо проще:
$y' = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x\right)' = (\frac{1}{2})' - (\frac{1}{2}\cos x)' = 0 - \frac{1}{2}(-\sin x) = \frac{1}{2}\sin x$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2}\sin x$.

5) Для функции $y = (x + 1) \sqrt[3]{x^2}$ сначала перепишем ее в виде со степенями: $y = (x + 1)x^{2/3}$.
Раскроем скобки, чтобы упростить дифференцирование: $y = x \cdot x^{2/3} + 1 \cdot x^{2/3} = x^{1+2/3} + x^{2/3} = x^{5/3} + x^{2/3}$.
Теперь применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$y' = (x^{5/3})' + (x^{2/3})' = \frac{5}{3}x^{5/3 - 1} + \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{5}{3}x^{2/3} + \frac{2}{3}x^{-1/3}$.
Преобразуем результат к более удобному виду, избавившись от отрицательной степени и приведя к общему знаменателю:
$y' = \frac{5}{3}x^{2/3} + \frac{2}{3x^{1/3}} = \frac{5x^{2/3} \cdot x^{1/3}}{3x^{1/3}} + \frac{2}{3x^{1/3}} = \frac{5x^{1} + 2}{3x^{1/3}} = \frac{5x + 2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{5x + 2}{3\sqrt[3]{x}}$.

6) Для функции $y = \sqrt[3]{x-1}(x^4 - 1)$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Представим функцию в виде $y = (x-1)^{1/3}(x^4 - 1)$.
Пусть $u = (x-1)^{1/3}$ и $v = x^4 - 1$.
Находим производные $u'$ и $v'$:
$u' = ((x-1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(x-1)^{1/3 - 1} \cdot (x-1)' = \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$.
$v' = (x^4 - 1)' = 4x^3$.
Подставляем в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{x^4 - 1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} + 4x^3\sqrt[3]{x-1}$.
Для упрощения выражения разложим на множители $x^4 - 1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)$.
$y' = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{3(x-1)^{2/3}} + 4x^3(x-1)^{1/3}$.
Упростим первое слагаемое: $\frac{(x-1)^1}{(x-1)^{2/3}} = (x-1)^{1-2/3} = (x-1)^{1/3}$.
$y' = \frac{(x-1)^{1/3}(x+1)(x^2+1)}{3} + 4x^3(x-1)^{1/3}$.
Вынесем общий множитель $(x-1)^{1/3}$ за скобки:
$y' = (x-1)^{1/3} \left[ \frac{(x+1)(x^2+1)}{3} + 4x^3 \right] = (x-1)^{1/3} \left[ \frac{x^3+x^2+x+1 + 12x^3}{3} \right]$.
$y' = (x-1)^{1/3} \left[ \frac{13x^3+x^2+x+1}{3} \right] = \frac{(13x^3+x^2+x+1)\sqrt[3]{x-1}}{3}$.
Ответ: $y' = \frac{(13x^3+x^2+x+1)\sqrt[3]{x-1}}{3}$.