Номер 4, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя к главе 8 - номер 4, страница 258.

Условие.

4 Найти угол между касательной к графику функции $y = x^4 - 2x^3 + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$ и осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Угол $ \alpha $, который касательная к графику функции $ y(x) $ в точке с абсциссой $ x_0 $ образует с положительным направлением оси $ Ox $, можно найти из геометрического смысла производной. Угловой коэффициент касательной $ k $ равен тангенсу этого угла и значению производной в точке касания:
$ k = \tan(\alpha) = y'(x_0) $.

Дана функция $ y = x^4 - 2x^3 + 3 $ и точка с абсциссой $ x_0 = \frac{1}{2} $.

1. Найдём производную функции $ y(x) $.
$ y' = (x^4 - 2x^3 + 3)' = 4x^{4-1} - 2 \cdot 3x^{3-1} + 0 = 4x^3 - 6x^2 $.

2. Вычислим значение производной в точке $ x_0 = \frac{1}{2} $.
Это значение будет равно угловому коэффициенту $ k $ касательной в данной точке.
$ k = y'(\frac{1}{2}) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^3 - 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{8} - \frac{6}{4} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1 $.

3. Найдём искомый угол $ \alpha $.
Мы получили, что угловой коэффициент касательной $ k = -1 $. Следовательно, $ \tan(\alpha) = -1 $.
Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол, отсчитываемый от положительного направления оси $ Ox $ против часовой стрелки. Этот угол находится в пределах от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $ (или от $ 0 $ до $ \pi $ радиан).
Уравнение $ \tan(\alpha) = -1 $ в этом диапазоне имеет единственное решение: $ \alpha = 135^\circ $ (или $ \frac{3\pi}{4} $ радиан).

Ответ: $ 135^\circ $.