Номер 892, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 892, страница 260.

Условие.

892 Прямая касается гиперболы $y = \frac{k}{x}$, где $k > 0$, в точке с абсциссой $x_0$.

1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.

2) Доказать, что эта касательная проходит через точки $(x_0; \frac{2k}{x_0})$ и $(2x_0; 0)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана гипербола $y = \frac{k}{x}$, где $k > 0$. Точка касания $M$ имеет абсциссу $x_0$. Ордината этой точки $y_0 = f(x_0) = \frac{k}{x_0}$. Таким образом, координаты точки касания: $M(x_0, \frac{k}{x_0})$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{k}{x}$:
$f'(x) = (k \cdot x^{-1})' = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Значение производной в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(x_0) = -\frac{k}{x_0^2}$.

Теперь подставим известные значения $f(x_0) = \frac{k}{x_0}$ и $f'(x_0) = -\frac{k}{x_0^2}$ в общее уравнение касательной:
$y = \frac{k}{x_0} + (-\frac{k}{x_0^2})(x - x_0)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y = \frac{k}{x_0} - \frac{k}{x_0^2}x + \frac{k x_0}{x_0^2}$
$y = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{k}{x_0} + \frac{k}{x_0}$
$y = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0}$
Это и есть искомое уравнение касательной.

Чтобы найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, нам нужно найти точки пересечения касательной с осями $Ox$ и $Oy$.

1. Пересечение с осью ординат ($Oy$). Для этого полагаем $x = 0$ в уравнении касательной:
$y = -\frac{k}{x_0^2}(0) + \frac{2k}{x_0} = \frac{2k}{x_0}$.
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, \frac{2k}{x_0})$.

2. Пересечение с осью абсцисс ($Ox$). Для этого полагаем $y = 0$ в уравнении касательной:
$0 = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0}$
$\frac{k}{x_0^2}x = \frac{2k}{x_0}$
Поскольку $k > 0$ и $x_0 \neq 0$, можем разделить обе части на $k$ и умножить на $x_0^2$:
$x = \frac{2k}{x_0} \cdot \frac{x_0^2}{k} = 2x_0$.
Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(2x_0, 0)$.

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным. Его катеты лежат на осях координат, а их длины равны модулям координат точек пересечения: $|2x_0|$ и $|\frac{2k}{x_0}|$.

Площадь $S$ этого треугольника вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} |2x_0| \cdot |\frac{2k}{x_0}|$
$S = \frac{1}{2} \cdot 2|x_0| \cdot \frac{2|k|}{|x_0|}$
Так как по условию $k > 0$, то $|k| = k$.
$S = |x_0| \cdot \frac{2k}{|x_0|} = 2k$.

Полученный результат $S=2k$ является постоянной величиной, которая зависит только от параметра $k$ гиперболы, но не от абсциссы точки касания $x_0$. Это доказывает, что площадь треугольника не зависит от положения точки касания.

Ответ: Площадь треугольника равна $2k$ и не зависит от положения точки касания.

2)

В пункте 1 мы получили уравнение касательной: $y = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0}$.
Теперь необходимо доказать, что эта прямая проходит через точки $(x_0; \frac{2k}{x_0})$ и $(2x_0; 0)$.

Проверим точку $(2x_0; 0)$:
Подставим абсциссу $x = 2x_0$ в уравнение касательной и найдем соответствующую ординату $y$:
$y = -\frac{k}{x_0^2}(2x_0) + \frac{2k}{x_0} = -\frac{2k}{x_0} + \frac{2k}{x_0} = 0$.
Полученная ордината $y=0$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, касательная проходит через точку $(2x_0; 0)$.

Проверим точку $(x_0; \frac{2k}{x_0})$:
Подставим абсциссу $x = x_0$ в уравнение касательной:
$y = -\frac{k}{x_0^2}(x_0) + \frac{2k}{x_0} = -\frac{k}{x_0} + \frac{2k}{x_0} = \frac{k}{x_0}$.
Таким образом, при $x=x_0$ касательная проходит через точку с ординатой $y = \frac{k}{x_0}$. Это и есть точка касания $(x_0; \frac{k}{x_0})$.
Для того чтобы касательная проходила через точку $(x_0; \frac{2k}{x_0})$, должно выполняться равенство $\frac{k}{x_0} = \frac{2k}{x_0}$. Это равенство верно только если $k=0$, что противоречит условию задачи ($k>0$).
Следовательно, утверждение о том, что касательная проходит через точку $(x_0; \frac{2k}{x_0})$, является неверным. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Возможно, имелась в виду точка $(0; \frac{2k}{x_0})$, которая является точкой пересечения касательной с осью $Oy$, и через которую касательная, как мы показали в пункте 1, действительно проходит.

Ответ: Касательная проходит через точку $(2x_0; 0)$, что и требовалось доказать. Утверждение о прохождении через точку $(x_0; \frac{2k}{x_0})$ неверно, так как при $x=x_0$ касательная проходит через точку касания $(x_0; \frac{k}{x_0})$, а не $(x_0; \frac{2k}{x_0})$ (при $k \neq 0$).