Номер 899, страница 264 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 899, страница 264.

Условие.

899 Доказать, что функция $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ возрастает на промежутке $(1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ возрастает на заданных промежутках и убывает на других, необходимо исследовать знак ее производной.

1. Нахождение производной и критических точек.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдём производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = \left(x^2 + \frac{2}{x}\right)' = (x^2)' + (2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.

Приведём производную к общему знаменателю для анализа её знака:

$f'(x) = \frac{2x \cdot x^2 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$.

Далее найдем критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует. Производная не существует в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = 0$.

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2(x^3 - 1) = 0$
$x^3 - 1 = 0$
$x^3 = 1$
$x = 1$.

2. Анализ знака производной и определение промежутков монотонности.

Точки $x=0$ и $x=1$ разбивают область определения на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знак производной $f'(x) = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$ зависит только от знака числителя $2(x^3 - 1)$, поскольку знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• Промежутки $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$.
  Для любого $x$ из этих промежутков выполняется условие $x < 1$. Следовательно, $x^3 < 1$, и выражение $x^3 - 1$ будет отрицательным.
  Таким образом, $f'(x) < 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$. Это означает, что функция $f(x)$ убывает на каждом из этих промежутков.
• Промежуток $(1; +\infty)$.
  Для любого $x$ из этого промежутка выполняется условие $x > 1$. Следовательно, $x^3 > 1$, и выражение $x^3 - 1$ будет положительным.
  Таким образом, $f'(x) > 0$ на промежутке $(1; +\infty)$. Это означает, что функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Таким образом, мы подтвердили все утверждения, данные в условии задачи.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ возрастает на промежутке $(1; +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$.