Номер 904, страница 264 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 904, страница 264.

Условие.

904 1) $y = e^{x^2+3x}$,

2) $y = 3^{x^2-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения производной функции $y = e^{x^2 + 3x}$ мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Функция является композицией двух функций: внешней $f(u) = e^u$ и внутренней $u(x) = x^2 + 3x$.
Правило дифференцирования сложной функции: $(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Производная внешней функции $(e^u)'$ равна $e^u$.
Найдем производную внутренней функции $u(x)$:$u'(x) = (x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$.
Теперь, применяя цепное правило, получаем производную исходной функции:
$y' = (e^{x^2 + 3x})' = e^{x^2 + 3x} \cdot (x^2 + 3x)' = e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3)$.
Для удобства записи, множитель в скобках обычно ставят перед экспонентой:
$y' = (2x + 3)e^{x^2 + 3x}$.
Ответ: $y' = (2x + 3)e^{x^2 + 3x}$.

2)

Для нахождения производной функции $y = 3^{x^2 - x}$ мы также используем цепное правило для сложной показательной функции.
Функция имеет вид $y = a^{u(x)}$, где основание $a = 3$ и внутренняя функция (показатель степени) $u(x) = x^2 - x$.
Формула для производной сложной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:$u'(x) = (x^2 - x)' = (x^2)' - (x)' = 2x - 1$.
Теперь подставим все части в общую формулу:
$y' = (3^{x^2 - x})' = 3^{x^2 - x} \cdot \ln(3) \cdot (x^2 - x)' = 3^{x^2 - x} \cdot \ln(3) \cdot (2x - 1)$.
Перегруппируем множители для более стандартного вида:
$y' = (2x - 1) \cdot 3^{x^2 - x} \ln(3)$.
Ответ: $y' = (2x - 1) \cdot 3^{x^2 - x} \ln(3)$.