Номер 907, страница 265 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 907, страница 265.

Условие.

907 При каких значениях $a$ функция возрастает на всей числовой прямой:

1) $y = x^3 - ax;$

2) $y = ax - \sin x?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы функция $y = x^3 - ax$ возрастала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна для всех действительных значений $x$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - ax)' = 3x^2 - a$

Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y' \ge 0$ для всех $x$.

$3x^2 - a \ge 0$

$3x^2 \ge a$

Это неравенство должно выполняться для любого $x \in (-\infty; +\infty)$. Выражение в левой части, $3x^2$, является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 0)$. Наименьшее значение выражения $3x^2$ равно $0$ и достигается при $x=0$.

Чтобы неравенство $3x^2 \ge a$ выполнялось для всех $x$, параметр $a$ должен быть меньше или равен наименьшему значению левой части, то есть:

$a \le \min(3x^2)$

$a \le 0$

Ответ: $a \le 0$.

2) Для того чтобы функция $y = ax - \sin x$ возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть неотрицательна для всех действительных значений $x$.

Найдем производную функции:

$y' = (ax - \sin x)' = a - \cos x$

Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y' \ge 0$ для всех $x$.

$a - \cos x \ge 0$

$a \ge \cos x$

Это неравенство должно выполняться для любого $x \in (-\infty; +\infty)$. Множество значений функции $f(x)=\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наибольшее значение функции $\cos x$ равно $1$.

Чтобы неравенство $a \ge \cos x$ выполнялось для всех $x$, параметр $a$ должен быть больше или равен наибольшему значению функции $\cos x$, то есть:

$a \ge \max(\cos x)$

$a \ge 1$

Ответ: $a \ge 1$.