Номер 908, страница 265 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 49. Возрастание и убывание функции - номер 908, страница 265.

Условие.

908 При каких значениях $a$ функция $y = x^3 - 2x^2 + ax$ возрастает на всей числовой прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы функция $y = x^3 - 2x^2 + ax$ возрастала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна для всех действительных значений $x$, то есть $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^3 - 2x^2 + ax)' = 3x^2 - 4x + a$

Теперь нам необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых неравенство $3x^2 - 4x + a \ge 0$ выполняется для любого $x$.

Левая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = 3x^2 - 4x + a$. Ее графиком является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (что больше нуля), ветви параболы направлены вверх.

Парабола с ветвями, направленными вверх, будет принимать неотрицательные значения на всей числовой прямой в том случае, если она не имеет точек пересечения с осью абсцисс или имеет ровно одну точку касания. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 4x + a = 0$ меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 16 - 12a$

Решим неравенство $D \le 0$ относительно $a$:

$16 - 12a \le 0$

$16 \le 12a$

$a \ge \frac{16}{12}$

$a \ge \frac{4}{3}$

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой при значениях $a$, удовлетворяющих этому условию.

Ответ: при $a \ge \frac{4}{3}$ или $a \in [\frac{4}{3}; +\infty)$.