Номер 913, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 913, страница 270.

Условие.

913 Найти стационарные точки функции:

1) $y = \frac{2 + x^2}{x}$;

2) $y = \frac{x^2 + 3}{2x}$;

3) $y = e^{x^2 - 1}$;

4) $y = 2^{x^2 + x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Стационарные точки функции — это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю.
Дана функция $y = \frac{2 + x^2}{x}$.
Область определения функции: $D(y): x \neq 0$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(2+x^2)' \cdot x - (2+x^2) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (2+x^2) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - 2 - x^2}{x^2} = \frac{x^2-2}{x^2}$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$y' = 0 \implies \frac{x^2-2}{x^2} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 2 = 0$.
$x^2 = 2$.
$x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$.
Обе точки принадлежат области определения функции.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$.

2) Дана функция $y = \frac{x^2 + 3}{2x}$.
Область определения функции: $D(y): x \neq 0$.
Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:
$y' = \frac{(x^2+3)' \cdot 2x - (x^2+3) \cdot (2x)'}{(2x)^2} = \frac{2x \cdot 2x - (x^2+3) \cdot 2}{4x^2} = \frac{4x^2 - 2x^2 - 6}{4x^2} = \frac{2x^2 - 6}{4x^2} = \frac{2(x^2 - 3)}{4x^2} = \frac{x^2 - 3}{2x^2}$.
Приравняем производную к нулю:
$y' = 0 \implies \frac{x^2 - 3}{2x^2} = 0$.
$x^2 - 3 = 0$.
$x^2 = 3$.
$x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{3}$.
Обе точки принадлежат области определения функции.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{3}$.

3) Дана функция $y = e^{x^2 - 1}$.
Область определения функции: $D(y): x \in \mathbb{R}$ (все действительные числа).
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:
$y' = e^{x^2-1} \cdot (x^2 - 1)' = e^{x^2-1} \cdot 2x = 2xe^{x^2-1}$.
Приравняем производную к нулю:
$y' = 0 \implies 2xe^{x^2-1} = 0$.
Так как множитель $e^{x^2-1}$ всегда больше нуля ($e^{x^2-1} > 0$) для любого действительного $x$, то уравнение равносильно $2x=0$.
$x = 0$.
Точка принадлежит области определения функции.
Ответ: $x = 0$.

4) Дана функция $y = 2^{x^2 + x}$.
Область определения функции: $D(y): x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \cdot \ln(a) \cdot u'$:
$y' = 2^{x^2+x} \cdot \ln(2) \cdot (x^2+x)' = 2^{x^2+x} \cdot \ln(2) \cdot (2x+1)$.
Приравняем производную к нулю:
$y' = 0 \implies 2^{x^2+x} \cdot \ln(2) \cdot (2x+1) = 0$.
Так как $2^{x^2+x} > 0$ и $\ln(2)$ является константой, не равной нулю, то уравнение равносильно $2x+1=0$.
$2x = -1$.
$x = -0.5$.
Точка принадлежит области определения функции.
Ответ: $x = -0.5$.