Номер 911, страница 269 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 911, страница 269.

Условие.

911 На рисунке 131 изображён график функции $y = f (x)$. Найти критические точки этой функции.

$y = f (x)$

Рис. 131

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Проанализируем график функции $y = f(x)$ для нахождения её критических точек:

1. Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$).
   На графике это точки, в которых касательная к графику горизонтальна. К ним относятся точки локальных максимумов и минимумов с гладким изгибом, а также участки, где функция постоянна (горизонтальные линии).
   • При $x = -6$ наблюдается гладкий локальный минимум, касательная горизонтальна, значит $f'(-6) = 0$.
   • При $x = -4$ наблюдается гладкий локальный максимум, касательная горизонтальна, значит $f'(-4) = 0$.
   • На отрезке от $x = -2$ до $x = -1$ график функции представляет собой горизонтальную линию. Это означает, что для любой точки $x$ из интервала $(-2, -1)$ производная равна нулю, то есть $f'(x) = 0$.
   • При $x = 2$ наблюдается гладкий локальный максимум, касательная горизонтальна, значит $f'(2) = 0$.
2. Точки, в которых производная не существует.
   На графике это точки "излома" (углы), в которых невозможно провести единственную касательную.
   • При $x = -5$ график имеет излом (локальный минимум), производная не существует.
   • При $x = -2$ график имеет излом (начало горизонтального участка), производная не существует.
   • При $x = -1$ график имеет излом (конец горизонтального участка), производная не существует.
   • При $x = 1$ график имеет излом (локальный минимум), производная не существует.
   • При $x = 4$ график имеет излом (локальный минимум), производная не существует.

Объединяя все найденные точки, мы получаем полный список критических точек функции. Важно отметить, что все точки отрезка $[-2, -1]$ являются критическими, так как в конечных точках $x=-2$ и $x=-1$ производная не существует, а во всех внутренних точках этого отрезка производная равна нулю.

Ответ: Критическими точками данной функции являются точки с абсциссами $x = -6$, $x = -5$, $x = -4$, $x = 1$, $x = 2$, $x = 4$, а также все точки отрезка $[-2, -1]$.