Номер 912, страница 269 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 912, страница 269.

Условие.

912 Найти стационарные точки функции:

1) $y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x};$

2) $y = 2x^3 - 15x^2 + 36x;$

3) $y = e^{2x} - 2e^x;$

4) $y = \sin x - \cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Стационарные точки функции — это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю.

1) $y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$

Сначала найдем область определения функции. Так как в знаменателе стоит $x$, то $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции $y'$: $y' = (\frac{x}{2} + \frac{8}{x})' = (\frac{1}{2}x + 8x^{-1})' = \frac{1}{2} - 8x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{8}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $\frac{1}{2} - \frac{8}{x^2} = 0$

$\frac{1}{2} = \frac{8}{x^2}$

$x^2 = 2 \cdot 8 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Обе точки принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = -4$, $x = 4$.

2) $y = 2x^3 - 15x^2 + 36x$

Данная функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $y'$: $y' = (2x^3 - 15x^2 + 36x)' = 2 \cdot 3x^2 - 15 \cdot 2x + 36 = 6x^2 - 30x + 36$.

Приравняем производную к нулю: $6x^2 - 30x + 36 = 0$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Отсюда корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Ответ: $x = 2$, $x = 3$.

3) $y = e^{2x} - 2e^x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $y'$: $y' = (e^{2x} - 2e^x)' = (e^{2x})' - (2e^x)' = e^{2x} \cdot (2x)' - 2e^x = 2e^{2x} - 2e^x$.

Приравняем производную к нулю: $2e^{2x} - 2e^x = 0$

Вынесем общий множитель $2e^x$ за скобки: $2e^x(e^x - 1) = 0$

Поскольку $2e^x$ всегда больше нуля ($2e^x > 0$), то равенство возможно только при условии: $e^x - 1 = 0$

$e^x = 1$

$x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

4) $y = \sin x - \cos x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $y'$: $y' = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

Приравняем производную к нулю: $\cos x + \sin x = 0$

$\sin x = -\cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это можно сделать, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен быть равен $\pm 1$, и равенство $\sin x = -\cos x$ не выполняется ($\pm 1 \neq 0$).

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия точек: $x = \arctan(-1) + n\pi = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.