Номер 914, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 914, страница 270.

Условие.

914 Найти точки экстремума функции:

1) $y = 2x^2 - 20x + 1;$

2) $y = 3x^2 + 36x - 1;$

3) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x};$

4) $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2x^2 - 20x + 1$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Это будут стационарные точки. Затем нужно исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Находим производную функции:
$y' = (2x^2 - 20x + 1)' = 2 \cdot 2x - 20 = 4x - 20$.

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$4x - 20 = 0$
$4x = 20$
$x = 5$.

3. Определяем знак производной на интервалах, на которые стационарная точка делит числовую прямую: $(-\infty; 5)$ и $(5; +\infty)$.
При $x < 5$ (например, $x = 0$), $y' = 4(0) - 20 = -20 < 0$. Функция убывает.
При $x > 5$ (например, $x = 6$), $y' = 4(6) - 20 = 4 > 0$. Функция возрастает.

Поскольку в точке $x = 5$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 5$.

2) $y = 3x^2 + 36x - 1$

1. Находим производную функции:
$y' = (3x^2 + 36x - 1)' = 3 \cdot 2x + 36 = 6x + 36$.

2. Приравниваем производную к нулю:
$6x + 36 = 0$
$6x = -36$
$x = -6$.

3. Определяем знак производной на интервалах $(-\infty; -6)$ и $(-6; +\infty)$.
При $x < -6$ (например, $x = -7$), $y' = 6(-7) + 36 = -42 + 36 = -6 < 0$. Функция убывает.
При $x > -6$ (например, $x = 0$), $y' = 6(0) + 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.

В точке $x = -6$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: $x_{min} = -6$.

3) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$.

1. Находим производную функции:
$y' = (\frac{x}{5} + \frac{5}{x})' = (\frac{1}{5}x + 5x^{-1})' = \frac{1}{5} - 5x^{-2} = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.

2. Приравниваем производную к нулю:
$\frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} = 0$
$\frac{1}{5} = \frac{5}{x^2}$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

3. Определяем знак производной на интервалах, на которые стационарные точки и точка разрыва делят числовую прямую: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; -5)$ (например, $x = -10$), $y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{(-10)^2} = \frac{1}{5} - \frac{5}{100} > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (-5; 0)$ (например, $x = -1$), $y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{(-1)^2} = \frac{1}{5} - 5 < 0$. Функция убывает.
При $x \in (0; 5)$ (например, $x = 1$), $y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{1^2} = \frac{1}{5} - 5 < 0$. Функция убывает.
При $x \in (5; +\infty)$ (например, $x = 10$), $y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{10^2} = \frac{1}{5} - \frac{5}{100} > 0$. Функция возрастает.

В точке $x = -5$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.
В точке $x = 5$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -5$, $x_{min} = 5$.

4) $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16}$

Область определения функции: $x \neq 0$.

1. Находим производную функции:
$y' = (\frac{4}{x} + \frac{x}{16})' = (4x^{-1} + \frac{1}{16}x)' = -4x^{-2} + \frac{1}{16} = -\frac{4}{x^2} + \frac{1}{16}$.

2. Приравниваем производную к нулю:
$-\frac{4}{x^2} + \frac{1}{16} = 0$
$\frac{1}{16} = \frac{4}{x^2}$
$x^2 = 64$
$x_1 = 8$, $x_2 = -8$.

3. Определяем знак производной на интервалах $(-\infty; -8)$, $(-8; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; -8)$ (например, $x = -10$), $y' = -\frac{4}{(-10)^2} + \frac{1}{16} = -\frac{4}{100} + \frac{1}{16} > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (-8; 0)$ (например, $x = -1$), $y' = -\frac{4}{(-1)^2} + \frac{1}{16} = -4 + \frac{1}{16} < 0$. Функция убывает.
При $x \in (0; 8)$ (например, $x = 1$), $y' = -\frac{4}{1^2} + \frac{1}{16} = -4 + \frac{1}{16} < 0$. Функция убывает.
При $x \in (8; +\infty)$ (например, $x = 10$), $y' = -\frac{4}{10^2} + \frac{1}{16} = -\frac{4}{100} + \frac{1}{16} > 0$. Функция возрастает.

В точке $x = -8$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.
В точке $x = 8$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -8$, $x_{min} = 8$.