Номер 921, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 921, страница 270.

Условие.

921 Построить эскиз графика функции $y = f(x)$, непрерывной на отрезке $[a; b]$, если:

1) $a = -6$, $b = 6$, $f(-6) = -6$, $f(6) = 1$, $f'(x) > 0$ при $-6 < x < -4$, $-1 < x < 4$, $f'(x) < 0$ при $-4 < x < -1$, $4 < x < 6$, $f'(-4) = 0$, $f'(-1) = 0$, $f'(4) = 0$;

2) $a = -4$, $b = 5$, $f(-4) = 5$, $f(5) = 1$, $f'(x) < 0$ при $-4 < x < -3$, $0 < x < 3$, $f'(x) > 0$ при $-3 < x < 0$, $3 < x < 5$, $f'(-3) = 0$, $f'(0) = 0$, $f'(3) = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для построения эскиза графика функции $y=f(x)$ проанализируем заданные условия.

Функция определена и непрерывна на отрезке $[a; b]$, где $a=-6$ и $b=6$. Граничные значения функции: $f(-6)=-6$ и $f(6)=1$. Это означает, что график начинается в точке $(-6, -6)$ и заканчивается в точке $(6, 1)$.

Проанализируем знак производной $f'(x)$ для определения интервалов монотонности функции:

• $f'(x) > 0$ при $-6 < x < -4$ и $-1 < x < 4$. На этих интервалах функция возрастает.
• $f'(x) < 0$ при $-4 < x < -1$ и $4 < x < 6$. На этих интервалах функция убывает.

Точки, в которых производная равна нулю, $f'(-4)=0, f'(-1)=0, f'(4)=0$, являются стационарными точками (точками возможного экстремума). Определим тип экстремума в этих точках, анализируя смену знака производной при переходе через них:

• В точке $x = -4$ производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, $x = -4$ — точка локального максимума.
• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = -1$ — точка локального минимума.
• В точке $x = 4$ производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, $x = 4$ — точка локального максимума.

Основываясь на этом анализе, мы можем описать эскиз графика. График начинается в точке $(-6, -6)$. Затем кривая идет вверх (функция возрастает) до точки локального максимума при $x = -4$. После этой точки кривая идет вниз (функция убывает), достигая точки локального минимума при $x = -1$. Отсюда кривая снова идет вверх (функция возрастает) до точки локального максимума при $x = 4$. Наконец, кривая идет вниз (функция убывает), достигая конечной точки $(6, 1)$. Поскольку функция непрерывна, график представляет собой единую плавную кривую без разрывов.

Ответ: Эскиз графика — это непрерывная кривая на отрезке $[-6; 6]$, которая начинается в точке $(-6, -6)$, имеет локальный максимум в $x=-4$, локальный минимум в $x=-1$, еще один локальный максимум в $x=4$ и заканчивается в точке $(6, 1)$.

2) Аналогично проанализируем условия для второго случая.

Функция определена и непрерывна на отрезке $[a; b]$, где $a=-4$ и $b=5$. Граничные значения функции: $f(-4)=5$ и $f(5)=1$. Это означает, что график начинается в точке $(-4, 5)$ и заканчивается в точке $(5, 1)$.

Проанализируем знак производной $f'(x)$:

• $f'(x) < 0$ при $-4 < x < -3$ и $0 < x < 3$. На этих интервалах функция убывает.
• $f'(x) > 0$ при $-3 < x < 0$ и $3 < x < 5$. На этих интервалах функция возрастает.

Точки, в которых производная равна нулю, $f'(-3)=0, f'(0)=0, f'(3)=0$, являются стационарными точками. Определим тип экстремума:

• В точке $x = -3$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = -3$ — точка локального минимума.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, $x = 0$ — точка локального максимума.
• В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 3$ — точка локального минимума.

Опишем эскиз графика. График начинается в точке $(-4, 5)$. Кривая идет вниз (функция убывает), достигая точки локального минимума при $x = -3$. Отсюда кривая идет вверх (функция возрастает) до точки локального максимума при $x = 0$. После этого кривая снова идет вниз (функция убывает), достигая второй точки локального минимума при $x = 3$. Наконец, кривая идет вверх (функция возрастает), достигая конечной точки $(5, 1)$. График является плавной непрерывной кривой.

Ответ: Эскиз графика — это непрерывная кривая на отрезке $[-4; 5]$, которая начинается в точке $(-4, 5)$, имеет локальный минимум в $x=-3$, локальный максимум в $x=0$, еще один локальный минимум в $x=3$ и возрастает до конечной точки $(5, 1)$.