Номер 926, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 926, страница 276.

Условие.

Построить график функции (926—927).

926 1) $y = x^3 - 3x^2 + 4;$

2) $y = 2 + 3x - x^3;$

3) $y = -x^3 + 4x^2 - 4x;$

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Проведем полное исследование функции $y = x^3 - 3x^2 + 4$ для построения ее графика.

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому область ее определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью ординат (OY): при $x=0$ имеем $y = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$. Точка пересечения: $(0; 4)$.

С осью абсцисс (OX): при $y=0$ имеем $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Пробуем целочисленные делители свободного члена (4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Корень $x = -1$ подходит, так как $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Корень $x=2$ также подходит: $2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Разложив многочлен на множители, получаем $(x+1)(x-2)^2 = 0$. Таким образом, точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$, причем в точке $x=2$ график касается оси OX (корень кратности 2).

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 4 = -x^3 - 3x^2 + 4$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. График несимметричен относительно оси OY и начала координат.

4. Интервалы монотонности и экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x(x-2) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

При $x \in (-\infty; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 2)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (2; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точка $x=0$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 4$. Координаты максимума: $(0; 4)$.

Точка $x=2$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 0$. Координаты минимума: $(2; 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $6x-6=0$, откуда $x=1$.

При $x \in (-\infty; 1)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.

При $x \in (1; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз.

$x=1$ — точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 2$. Координаты точки перегиба: $(1; 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^3 - 3x^2 + 4$ используются ключевые точки: пересечение с осями $(-1; 0)$, $(2; 0)$, $(0; 4)$; точка максимума $(0; 4)$; точка минимума $(2; 0)$; точка перегиба $(1; 2)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, убывает на $(0; 2)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; 1)$ и выпуклый вниз на $(1; +\infty)$.

2)

Проведем полное исследование функции $y = 2 + 3x - x^3$ (или $y = -x^3 + 3x + 2$) для построения ее графика.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: при $x=0$, $y = 2$. Точка пересечения: $(0; 2)$.

С осью OX: при $y=0$, $-x^3 + 3x + 2 = 0$ или $x^3 - 3x - 2 = 0$. Подбором находим корни $x=-1$ (кратность 2) и $x=2$. Разложение: $(x+1)^2(x-2)=0$. Точки пересечения: $(-1; 0)$ (касание) и $(2; 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 3(-x) + 2 = x^3 - 3x + 2$. Функция общего вида.

4. Интервалы монотонности и экстремумы. Первая производная: $y' = (-x^3 + 3x + 2)' = -3x^2 + 3 = -3(x^2-1) = -3(x-1)(x+1)$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (-1; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = 0$. Координаты минимума: $(-1; 0)$.

Точка $x=1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = -1+3+2=4$. Координаты максимума: $(1; 4)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Вторая производная: $y'' = (-3x^2 + 3)' = -6x$.

Точка перегиба при $x=0$.

При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз.

При $x \in (0; +\infty)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.

$x=0$ — точка перегиба. $y(0) = 2$. Координаты точки перегиба: $(0; 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2 + 3x - x^3$ используются ключевые точки: пересечение с осями $(-1; 0)$, $(2; 0)$, $(0; 2)$; точка минимума $(-1; 0)$; точка максимума $(1; 4)$; точка перегиба $(0; 2)$. Функция убывает на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, возрастает на $(-1; 1)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0)$ и выпуклый вверх на $(0; +\infty)$.

3)

Проведем полное исследование функции $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$ для построения ее графика.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

С осью OX: при $y=0$, $-x^3 + 4x^2 - 4x = 0 \Rightarrow -x(x^2 - 4x + 4) = 0 \Rightarrow -x(x-2)^2 = 0$. Корни $x=0$ и $x=2$ (кратность 2). Точки пересечения: $(0; 0)$ и $(2; 0)$ (касание).

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 - 4(-x) = x^3 + 4x^2 + 4x$. Функция общего вида.

4. Интервалы монотонности и экстремумы. Первая производная: $y' = (-x^3 + 4x^2 - 4x)' = -3x^2 + 8x - 4$.

Критические точки: $-3x^2 + 8x - 4 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 8x + 4 = 0$. Корни $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = 2$.

При $x \in (-\infty; 2/3)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (2/3; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (2; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка $x=2/3$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(2/3) = -(2/3)^3 + 4(2/3)^2 - 4(2/3) = -8/27 + 16/9 - 8/3 = -32/27$. Координаты минимума: $(2/3; -32/27)$.

Точка $x=2$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = 0$. Координаты максимума: $(2; 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Вторая производная: $y'' = (-3x^2 + 8x - 4)' = -6x + 8$.

Точка перегиба при $-6x+8=0$, т.е. $x = 4/3$.

При $x \in (-\infty; 4/3)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

При $x \in (4/3; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

$x=4/3$ — точка перегиба. $y(4/3) = -(4/3)^3 + 4(4/3)^2 - 4(4/3) = -16/27$. Координаты точки перегиба: $(4/3; -16/27)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = -x^3 + 4x^2 - 4x$ используются ключевые точки: пересечение с осями $(0; 0)$, $(2; 0)$; точка минимума $(2/3; -32/27)$; точка максимума $(2; 0)$; точка перегиба $(4/3; -16/27)$. Функция убывает на $(-\infty; 2/3)$ и $(2; +\infty)$, возрастает на $(2/3; 2)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 4/3)$ и выпуклый вверх на $(4/3; +\infty)$.

4)

Проведем полное исследование функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ для построения ее графика.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

С осью OX: при $y=0$, $x^3 + 6x^2 + 9x = 0 \Rightarrow x(x^2 + 6x + 9) = 0 \Rightarrow x(x+3)^2 = 0$. Корни $x=0$ и $x=-3$ (кратность 2). Точки пересечения: $(0; 0)$ и $(-3; 0)$ (касание).

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 + 6(-x)^2 + 9(-x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$. Функция общего вида.

4. Интервалы монотонности и экстремумы. Первая производная: $y' = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2+4x+3) = 3(x+1)(x+3)$.

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.

При $x \in (-\infty; -3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (-3; -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (-1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точка $x=-3$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(-3) = 0$. Координаты максимума: $(-3; 0)$.

Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1+6-9=-4$. Координаты минимума: $(-1; -4)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Вторая производная: $y'' = (3x^2 + 12x + 9)' = 6x + 12$.

Точка перегиба при $6x+12=0$, т.е. $x = -2$.

При $x \in (-\infty; -2)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

При $x \in (-2; +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

$x=-2$ — точка перегиба. $y(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 9(-2) = -8+24-18=-2$. Координаты точки перегиба: $(-2; -2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ используются ключевые точки: пересечение с осями $(0; 0)$, $(-3; 0)$; точка максимума $(-3; 0)$; точка минимума $(-1; -4)$; точка перегиба $(-2; -2)$. Функция возрастает на $(-\infty; -3)$ и $(-1; +\infty)$, убывает на $(-3; -1)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; -2)$ и выпуклый вниз на $(-2; +\infty)$.