Номер 933, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 933, страница 276.

Условие.

933 1) $y = \frac{x^2}{x-2}$;

2) $y = \frac{-x^2+3x-1}{x}$;

3) $y = \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача представляет собой полное исследование функций и построение их графиков. Ниже приведено подробное решение для каждой функции.

1) $y = \frac{x^2}{x-2}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = \frac{(-x)^2}{-x-2} = \frac{x^2}{-(x+2)} = -\frac{x^2}{x+2}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y = \frac{0^2}{0-2} = 0$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.

При $y=0$, $\frac{x^2}{x-2} = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0$. Точка пересечения с осью Ox также $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Точка разрыва $x=2$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{+0} = +\infty$

Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота. Ищем асимптоту вида $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x(x-2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2-2x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y-kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2}{x-2} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x-2} = 2$.

Прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $y' = \left(\frac{x^2}{x-2}\right)' = \frac{(x^2)'(x-2) - x^2(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - x^2}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$.

Критические точки (где $y'=0$): $x(x-4)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=4$.

На интервале $(-\infty, 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

На интервалах $(0, 2)$ и $(2, 4)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

На интервале $(4, +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ знак производной меняется с $+$ на $-$, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 0$.

В точке $x=4$ знак производной меняется с $-$ на $+$, это точка локального минимума. $y_{min} = y(4) = \frac{4^2}{4-2} = 8$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости.

Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2}\right)' = \frac{(2x-4)(x-2)^2 - (x^2-4x) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{2(x-2)^2 - 2(x^2-4x)}{(x-2)^3} = \frac{2(x^2-4x+4) - 2x^2+8x}{(x-2)^3} = \frac{8}{(x-2)^3}$.

Вторая производная не обращается в ноль, точек перегиба нет.

На интервале $(-\infty, 2)$ $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

На интервале $(2, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).

Ответ: Функция определена для всех $x \neq 2$. Вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$. Точка пересечения с осями $(0,0)$. Локальный максимум в точке $(0, 0)$, локальный минимум в точке $(4, 8)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ и убывает на $(0, 2) \cup (2, 4)$. График выпуклый вверх при $x<2$ и вогнутый при $x>2$.

2) $y = \frac{-x^2+3x-1}{x}$

Проведем полное исследование функции. Функцию можно переписать в виде $y = -x + 3 - \frac{1}{x}$.

1. Область определения.

Знаменатель не равен нулю: $x \neq 0$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = -(-x) + 3 - \frac{1}{-x} = x + 3 + \frac{1}{x}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$ функция не определена, пересечения с осью Oy нет.

При $y=0$, $-x^2+3x-1 = 0 \Rightarrow x^2-3x+1=0$. Решаем квадратное уравнение: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Точки пересечения с осью Ox: $(\frac{3-\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{3+\sqrt{5}}{2}, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Точка разрыва $x=0$.

$\lim_{x \to 0^-} (-x + 3 - \frac{1}{x}) = 3 - (-\infty) = +\infty$

$\lim_{x \to 0^+} (-x + 3 - \frac{1}{x}) = 3 - (+\infty) = -\infty$

Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота. Из вида $y = -x + 3 - \frac{1}{x}$ следует, что при $x \to \pm\infty$ член $\frac{1}{x} \to 0$.

Следовательно, прямая $y=-x+3$ является наклонной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $y' = (-x + 3 - x^{-1})' = -1 + x^{-2} = -1 + \frac{1}{x^2} = \frac{1-x^2}{x^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $1-x^2=0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=1$.

На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-1$ знак производной меняется с $-$ на $+$, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = \frac{-(-1)^2+3(-1)-1}{-1} = \frac{-1-3-1}{-1} = 5$.

В точке $x=1$ знак производной меняется с $+$ на $-$, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = \frac{-1^2+3(1)-1}{1} = -1+3-1 = 1$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости.

Найдем вторую производную: $y'' = (-1 + x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Вторая производная не обращается в ноль, точек перегиба нет.

На интервале $(-\infty, 0)$ $y'' > 0$, график вогнутый.

На интервале $(0, +\infty)$ $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

Ответ: Функция определена для всех $x \neq 0$. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=-x+3$. Пересечение с осью Ox в точках $(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, 0)$. Локальный минимум в точке $(-1, 5)$, локальный максимум в точке $(1, 1)$. Функция возрастает на $(-1, 0) \cup (0, 1)$ и убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. График вогнутый при $x<0$ и выпуклый вверх при $x>0$.

3) $y = \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Знаменатель не равен нулю: $(x-2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = \frac{4-x-2(-x)^2}{(-x-2)^2} = \frac{4-x-2x^2}{(x+2)^2}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y = \frac{4+0-0}{(0-2)^2} = \frac{4}{4} = 1$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 1)$.

При $y=0$, $4+x-2x^2 = 0 \Rightarrow 2x^2-x-4=0$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-4)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Пересечение с осью Ox в точках $(\frac{1-\sqrt{33}}{4}, 0)$ и $(\frac{1+\sqrt{33}}{4}, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Точка разрыва $x=2$. Числитель при $x=2$ равен $4+2-2(2^2) = -2$.

$\lim_{x \to 2} \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2} = \frac{-2}{+0} = -\infty$.

Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Степени числителя и знаменателя равны 2.

$y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x^2+x+4}{x^2-4x+4} = -2$.

Прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $y' = \frac{(-4x+1)(x-2)^2 - (-2x^2+x+4) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{(-4x+1)(x-2) - 2(-2x^2+x+4)}{(x-2)^3} = \frac{-4x^2+9x-2 - (-4x^2+2x+8)}{(x-2)^3} = \frac{7x-10}{(x-2)^3}$.

Критическая точка ($y'=0$): $7x-10=0 \Rightarrow x=10/7$.

На интервале $(-\infty, 10/7)$ $y' > 0$, функция возрастает.

На интервале $(10/7, 2)$ $y' < 0$, функция убывает.

На интервале $(2, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=10/7$ локальный максимум. $y_{max} = y(10/7) = \frac{4+10/7-2(100/49)}{(10/7-2)^2} = \frac{(196+70-200)/49}{(-4/7)^2} = \frac{66/49}{16/49} = \frac{66}{16} = \frac{33}{8}$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{7x-10}{(x-2)^3}\right)' = \frac{7(x-2)^3 - (7x-10) \cdot 3(x-2)^2}{(x-2)^6} = \frac{7(x-2)-3(7x-10)}{(x-2)^4} = \frac{7x-14-21x+30}{(x-2)^4} = \frac{-14x+16}{(x-2)^4}$.

Потенциальная точка перегиба ($y''=0$): $-14x+16=0 \Rightarrow x = 16/14 = 8/7$.

На интервале $(-\infty, 8/7)$ $y'' > 0$, график вогнутый.

На интервалах $(8/7, 2)$ и $(2, +\infty)$ $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

В точке $x=8/7$ происходит смена знака второй производной, это точка перегиба. $y(8/7) = \frac{4+8/7-2(64/49)}{(8/7-2)^2} = \frac{(196+56-128)/49}{(-6/7)^2} = \frac{124/49}{36/49} = \frac{124}{36} = \frac{31}{9}$.

Ответ: Функция определена для всех $x \neq 2$. Вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=-2$. Пересечение с осью Oy в точке $(0,1)$, с осью Ox в точках $(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}, 0)$. Локальный максимум в точке $(10/7, 33/8)$. Точка перегиба $(8/7, 31/9)$. Функция возрастает на $(-\infty, 10/7) \cup (2, +\infty)$ и убывает на $(10/7, 2)$. График вогнутый при $x<8/7$ и выпуклый вверх при $x>8/7$ (кроме точки $x=2$).