Номер 940, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 940, страница 281.

Условие.

940 Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна 50:

$x + y = 50$

Из этого соотношения мы можем выразить одно число через другое, например: $y = 50 - x$.

Нам необходимо минимизировать сумму кубов этих чисел. Обозначим эту сумму как функцию $S$:

$S = x^3 + y^3$

Чтобы найти минимум, представим $S$ как функцию одной переменной, подставив выражение для $y$:

$S(x) = x^3 + (50 - x)^3$

Для нахождения точки минимума функции $S(x)$, найдем ее первую производную $S'(x)$ по переменной $x$:

$S'(x) = (x^3 + (50 - x)^3)' = (x^3)' + ((50 - x)^3)'$

Используя правило дифференцирования степенной и сложной функции, получаем:

$S'(x) = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (50-x)' = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (-1)$

$S'(x) = 3x^2 - 3(50 - x)^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки (точки возможного экстремума):

$3x^2 - 3(50 - x)^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - (50 - x)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - (50 - x))(x + (50 - x)) = 0$

$(x - 50 + x)(x + 50 - x) = 0$

$(2x - 50) \cdot 50 = 0$

Так как $50 \neq 0$, то должно выполняться равенство:

$2x - 50 = 0$

$2x = 50$

$x = 25$

Чтобы проверить, является ли найденная точка точкой минимума, найдем вторую производную $S''(x)$:

$S''(x) = (3x^2 - 3(50 - x)^2)' = 6x - 3 \cdot 2(50 - x) \cdot (-1) = 6x + 6(50 - x)$

$S''(x) = 6x + 300 - 6x = 300$

Поскольку вторая производная $S''(x) = 300$ положительна при любом $x$, то точка $x = 25$ является точкой глобального минимума функции $S(x)$.

Теперь найдем значение второго числа $y$:

$y = 50 - x = 50 - 25 = 25$

Следовательно, для того чтобы сумма кубов двух чисел, дающих в сумме 50, была наименьшей, эти числа должны быть равны 25 и 25.

Ответ: $50 = 25 + 25$.