Номер 934, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 934, страница 276.

Условие.

934 Найти число действительных корней уравнения:

1) $x^4 - 4x^3 + 20 = 0$;

2) $8x^3 - 3x^4 - 7 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^4 - 4x^3 + 20 = 0$

Для нахождения числа действительных корней уравнения исследуем функцию $f(x) = x^4 - 4x^3 + 20$ с помощью производной.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 20)' = 4x^3 - 12x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 12x^2 = 0$

$4x^2(x - 3) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=3$ производная меняет знак с минуса на плюс, в этой точке функция имеет локальный минимум. В точке $x=0$ знак производной не меняется, поэтому это точка перегиба, а не экстремум.

4. Найдем значение функции в точке минимума:

$f(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 20 = 81 - 4 \cdot 27 + 20 = 81 - 108 + 20 = -7$.

Итак, точка локального (и глобального) минимума функции — $(3, -7)$.

5. Определим поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to \pm\infty} (x^4 - 4x^3 + 20) = +\infty$, так как старший член $x^4$ положителен.

6. Сделаем вывод о количестве корней.

Функция убывает от $+\infty$ до своего минимального значения $f(3) = -7$. На этом промежутке $(-\infty, 3]$ значение функции изменяется с положительного на отрицательное, следовательно, она пересекает ось Ox один раз. После точки минимума функция возрастает от $-7$ до $+\infty$. На этом промежутке $[3, +\infty)$ значение функции изменяется с отрицательного на положительное, следовательно, она пересекает ось Ox еще один раз.

Таким образом, график функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс в двух точках, а значит, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: 2.

2) $8x^3 - 3x^4 - 7 = 0$

Для нахождения числа действительных корней уравнения исследуем функцию $f(x) = -3x^4 + 8x^3 - 7$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-3x^4 + 8x^3 - 7)' = -12x^3 + 24x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-12x^3 + 24x^2 = 0$

$-12x^2(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

3. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет локальный максимум. В точке $x=0$ знак производной не меняется, это точка перегиба.

4. Найдем значение функции в точке максимума:

$f(2) = -3 \cdot 2^4 + 8 \cdot 2^3 - 7 = -3 \cdot 16 + 8 \cdot 8 - 7 = -48 + 64 - 7 = 9$.

Точка локального (и глобального) максимума функции — $(2, 9)$.

5. Определим поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to \pm\infty} (-3x^4 + 8x^3 - 7) = -\infty$, так как старший член $-3x^4$ отрицателен.

6. Сделаем вывод о количестве корней.

Функция возрастает от $-\infty$ до своего максимального значения $f(2) = 9$. На этом промежутке $(-\infty, 2]$ значение функции изменяется с отрицательного на положительное, следовательно, она пересекает ось Ox один раз. После точки максимума функция убывает от $9$ до $-\infty$. На этом промежутке $[2, +\infty)$ значение функции изменяется с положительного на отрицательное, следовательно, она пересекает ось Ox еще один раз.

Таким образом, график функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс в двух точках, а значит, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: 2.