Номер 931, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 931, страница 276.

Условие.

931 1) $y = 3x + \frac{1}{3x};$

2) $y = \frac{4}{x} - x;$

3) $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = 3x + \frac{1}{3x}$ воспользуемся правилами дифференцирования.

Сначала представим функцию в виде суммы степенных функций:

$y = 3x + \frac{1}{3}x^{-1}$

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u+v)' = u' + v'$. Также используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

$y' = (3x + \frac{1}{3}x^{-1})' = (3x)' + (\frac{1}{3}x^{-1})'$

Найдем производную каждого слагаемого:

$(3x)' = 3 \cdot (x^1)' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot x^0 = 3$

$(\frac{1}{3}x^{-1})' = \frac{1}{3} \cdot (x^{-1})' = \frac{1}{3} \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -\frac{1}{3}x^{-2}$

Складываем полученные производные:

$y' = 3 - \frac{1}{3}x^{-2}$

Перепишем результат в более привычном виде:

$y' = 3 - \frac{1}{3x^2}$

Ответ: $y' = 3 - \frac{1}{3x^2}$

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{4}{x} - x$ поступим аналогично.

Представим функцию в виде разности степенных функций:

$y = 4x^{-1} - x$

Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и формулу производной степенной функции.

$y' = (4x^{-1} - x)' = (4x^{-1})' - (x)'$

Найдем производную каждого слагаемого:

$(4x^{-1})' = 4 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -4x^{-2}$

$(x)' = 1$

Вычитаем одну производную из другой:

$y' = -4x^{-2} - 1$

Перепишем результат с положительным показателем степени:

$y' = -\frac{4}{x^2} - 1$

Ответ: $y' = -1 - \frac{4}{x^2}$

3) Для нахождения производной функции $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$ также преобразуем ее к степенному виду.

Вспомним, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, тогда $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$. Функция примет вид:

$y = x - x^{-1/2}$

Находим производную как производную разности:

$y' = (x - x^{-1/2})' = (x)' - (x^{-1/2})'$

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x)' = 1$

$(x^{-1/2})' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$

Вычитаем вторую производную из первой:

$y' = 1 - (-\frac{1}{2}x^{-3/2}) = 1 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$

Перепишем результат в виде дроби с корнем:

$y' = 1 + \frac{1}{2x^{3/2}} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}} = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$