Номер 927, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 927, страница 276.

Условие.

927 1) $y = -x^4 + 8x^2 - 16;$

2) $y = x^4 - 2x^2 + 2;$

3) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6;$

4) $y = 6x^4 - 4x^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = -x^4 + 8x^2 - 16$

Для исследования функции и нахождения ее экстремумов выполним следующие шаги:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Проверим значение функции для $-x$:$y(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 16 = -x^4 + 8x^2 - 16 = y(x)$.Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Производная. Найдем первую производную функции:$y' = (-x^4 + 8x^2 - 16)' = -4x^3 + 16x$.

4. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю:$-4x^3 + 16x = 0$$-4x(x^2 - 4) = 0$$-4x(x - 2)(x + 2) = 0$Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

5. Промежутки монотонности. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось:

• На интервале $(-\infty, -2)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=-3$, $y'(-3) = -4(-3)^3 + 16(-3) = 108 - 48 = 60 > 0$), значит, функция возрастает.
• На интервале $(-2, 0)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $y'(-1) = -4(-1)^3 + 16(-1) = 4 - 16 = -12 < 0$), значит, функция убывает.
• На интервале $(0, 2)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=1$, $y'(1) = -4(1)^3 + 16(1) = -4 + 16 = 12 > 0$), значит, функция возрастает.
• На интервале $(2, +\infty)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=3$, $y'(3) = -4(3)^3 + 16(3) = -108 + 48 = -60 < 0$), значит, функция убывает.

6. Экстремумы.

• В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(0) = -16$.
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$. Точка минимума: $(0; -16)$.

2) $y = x^4 - 2x^2 + 2$

Для исследования функции и нахождения ее экстремумов выполним следующие шаги:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Проверим значение функции для $-x$:$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 2 = x^4 - 2x^2 + 2 = y(x)$.Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Производная. Найдем первую производную функции:$y' = (x^4 - 2x^2 + 2)' = 4x^3 - 4x$.

4. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю:$4x^3 - 4x = 0$$4x(x^2 - 1) = 0$$4x(x - 1)(x + 1) = 0$Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

5. Промежутки монотонности. Определим знаки производной на интервалах:

• На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• На интервале $(-1, 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(0, 1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

6. Экстремумы.

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 2 = 2$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$. Точки минимума: $(-1; 1)$ и $(1; 1)$. Точка максимума: $(0; 2)$.

3) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6$

Для исследования функции и нахождения ее экстремумов выполним следующие шаги:

1. Область определения. Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = \frac{1}{4}(-x)^4 - \frac{1}{24}(-x)^6 = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6 = y(x)$.Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Производная. $y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6)' = x^3 - \frac{6}{24}x^5 = x^3 - \frac{1}{4}x^5$.

4. Критические точки. $x^3 - \frac{1}{4}x^5 = 0$$x^3(1 - \frac{1}{4}x^2) = 0$Критические точки: $x_1 = 0$, и $1 - \frac{1}{4}x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_{2,3} = \pm 2$.

5. Промежутки монотонности. Определим знаки производной на интервалах:

• На интервале $(-\infty, -2)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(-2, 0)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0, 2)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(2, +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

6. Экстремумы.

• В точке $x = -2$ точка максимума. $y_{max} = y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{24}(-2)^6 = \frac{16}{4} - \frac{64}{24} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
• В точке $x = 0$ точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
• В точке $x = 2$ точка максимума. $y_{max} = y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{1}{24}(2)^6 = \frac{4}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума: $(-2; \frac{4}{3})$ и $(2; \frac{4}{3})$. Точка минимума: $(0; 0)$.

4) $y = 6x^4 - 4x^6$

Для исследования функции и нахождения ее экстремумов выполним следующие шаги:

1. Область определения. Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = 6(-x)^4 - 4(-x)^6 = 6x^4 - 4x^6 = y(x)$.Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Производная. $y' = (6x^4 - 4x^6)' = 24x^3 - 24x^5$.

4. Критические точки. $24x^3 - 24x^5 = 0$$24x^3(1 - x^2) = 0$$24x^3(1 - x)(1 + x) = 0$Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

5. Промежутки монотонности. Определим знаки производной на интервалах:

• На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(-1, 0)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0, 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

6. Экстремумы.

• В точке $x = -1$ точка максимума. $y_{max} = y(-1) = 6(-1)^4 - 4(-1)^6 = 6 - 4 = 2$.
• В точке $x = 0$ точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
• В точке $x = 1$ точка максимума. $y_{max} = y(1) = 6(1)^4 - 4(1)^6 = 6 - 4 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$. Точки максимума: $(-1; 2)$ и $(1; 2)$. Точка минимума: $(0; 0)$.