Номер 922, страница 270 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 50. Экстремумы функции - номер 922, страница 270.

Условие.

922 Исследовать на экстремум функцию $y = (x+1)^n e^{-x}$, где $n$ — натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для исследования функции на экстремум найдем ее производную, приравняем к нулю, чтобы найти критические точки, а затем проанализируем поведение функции в зависимости от натурального числа $n$.

Исходная функция: $y = (x + 1)^n e^{-x}$.

Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $y'$ по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x + 1)^n)' e^{-x} + (x + 1)^n (e^{-x})' = n(x + 1)^{n-1} \cdot 1 \cdot e^{-x} + (x + 1)^n \cdot (-e^{-x})$

Вынесем общие множители $(x + 1)^{n-1}$ и $e^{-x}$ за скобки:

$y' = (x + 1)^{n-1} e^{-x} (n - (x + 1)) = (x + 1)^{n-1} e^{-x} (n - 1 - x)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$(x + 1)^{n-1} e^{-x} (n - 1 - x) = 0$

Так как $e^{-x} > 0$ для любого $x$, то нули производной определяются из уравнений:

$(x + 1)^{n-1} = 0 \implies x_1 = -1$ (эта точка является критической при $n-1 > 0$, то есть при $n > 1$)

$n - 1 - x = 0 \implies x_2 = n - 1$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $x_2 = n-1 \ge 0$. Таким образом, $x_2 > x_1$.

Поведение функции в окрестности критической точки $x_1 = -1$ зависит от четности или нечетности показателя степени $n-1$. Поэтому рассмотрим два случая.

1. Пусть n — четное число.

Если $n$ — четное ($n = 2, 4, 6, \dots$), то $n-1$ — нечетное число. В этом случае знак множителя $(x + 1)^{n-1}$ меняется при переходе через точку $x = -1$.

Проанализируем знаки производной $y' = (x + 1)^{n-1} e^{-x} (n - 1 - x)$ на интервалах:

• При $x < -1$: $(x + 1)^{n-1} < 0$, $e^{-x} > 0$, $(n - 1 - x) > 0$. Производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $-1 < x < n-1$: $(x + 1)^{n-1} > 0$, $e^{-x} > 0$, $(n - 1 - x) > 0$. Производная $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x > n-1$: $(x + 1)^{n-1} > 0$, $e^{-x} > 0$, $(n - 1 - x) < 0$. Производная $y' < 0$, функция убывает.

Таким образом, в точке $x = -1$ производная меняет знак с минуса на плюс, что соответствует точке локального минимума. В точке $x = n - 1$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точке локального максимума.

Найдем значения экстремумов:

$y_{min} = y(-1) = (-1 + 1)^n e^{-(-1)} = 0^n \cdot e = 0$ (так как $n$ — четное, $n \ge 2$).

$y_{max} = y(n - 1) = ((n - 1) + 1)^n e^{-(n-1)} = n^n e^{1-n} = \frac{n^n}{e^{n-1}}$.

Ответ: если $n$ — четное число, функция имеет локальный минимум в точке $x = -1$, $y_{min} = 0$, и локальный максимум в точке $x = n - 1$, $y_{max} = \frac{n^n}{e^{n-1}}$.

2. Пусть n — нечетное число.

Если $n$ — нечетное ($n = 1, 3, 5, \dots$), то $n-1$ — четное число. В этом случае множитель $(x + 1)^{n-1}$ является неотрицательным для всех $x$ (при $n > 1$) или равен 1 (при $n=1$, для $x \neq -1$). Знак этого множителя не меняется при переходе через точку $x = -1$.

Знак производной $y' = (x + 1)^{n-1} e^{-x} (n - 1 - x)$ определяется знаком множителя $(n - 1 - x)$, так как $(x + 1)^{n-1} \ge 0$ и $e^{-x} > 0$.

• При $x < n - 1$: $(n - 1 - x) > 0$. Производная $y' \ge 0$, функция возрастает.
• При $x > n - 1$: $(n - 1 - x) < 0$. Производная $y' < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = n - 1$ производная меняет знак с плюса на минус, и это точка локального максимума.

В точке $x = -1$ (которая является критической только при $n>1$) знак производной не меняется. Слева и справа от $x=-1$ (до точки $x=n-1$) функция возрастает. Значит, точка $x=-1$ не является точкой экстремума (это точка перегиба с горизонтальной касательной).

Если $n=1$, то функция $y=(x+1)e^{-x}$, ее производная $y' = -xe^{-x}$. Критическая точка одна: $x=0$, что совпадает с $x=n-1$. Эта точка является точкой максимума.

Таким образом, для любого нечетного $n$ функция имеет только одну точку экстремума — локальный максимум.

Найдем значение максимума:

$y_{max} = y(n - 1) = ((n - 1) + 1)^n e^{-(n-1)} = n^n e^{1-n} = \frac{n^n}{e^{n-1}}$.

Ответ: если $n$ — нечетное число, функция имеет локальный максимум в точке $x = n - 1$, $y_{max} = \frac{n^n}{e^{n-1}}$. Других экстремумов нет.