Номер 929, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 929, страница 276.

Условие.

929 На рисунке 137 изображён график функции $y = g(x)$, являющейся производной функции $y = f(x)$. Используя график, найти точки экстремума функции $y = f(x)$.

Рис. 137

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

На изображении представлен график функции $y = g(x)$, которая является производной для функции $y = f(x)$. Это означает, что $g(x) = f'(x)$. Для нахождения точек экстремума (точек максимума и минимума) функции $f(x)$ необходимо использовать следующее правило:

Точки экстремума функции $f(x)$ находятся там, где ее производная $f'(x)$ равна нулю и при этом меняет свой знак. На графике $g(x) = f'(x)$ это соответствует точкам, в которых график пересекает ось абсцисс ($Ox$).

1. Найдём точки, в которых производная равна нулю.
Это точки, где график $g(x)$ пересекает ось $Ox$. Из рисунка видно, что это точки: $x = -5$, $x = -2$, $x = 1$, $x = 4$, $x = 6$. Эти точки являются кандидатами на экстремум (критическими точками).

2. Определим тип экстремума для каждой точки.
Для этого проанализируем, как меняется знак производной $f'(x) = g(x)$ при переходе через каждую из этих точек.

• В точке $x = -5$ график функции $g(x)$ пересекает ось $Ox$ снизу вверх. Это означает, что производная $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = -5$ является точкой минимума функции $f(x)$.
• В точке $x = -2$ график функции $g(x)$ пересекает ось $Ox$ сверху вниз. Это означает, что производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «–». Следовательно, $x = -2$ является точкой максимума функции $f(x)$.
• В точке $x = 1$ график функции $g(x)$ пересекает ось $Ox$ снизу вверх. Производная $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума функции $f(x)$.
• В точке $x = 4$ график функции $g(x)$ пересекает ось $Ox$ сверху вниз. Производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «–». Следовательно, $x = 4$ является точкой максимума функции $f(x)$.
• В точке $x = 6$ график функции $g(x)$ пересекает ось $Ox$ снизу вверх. Производная $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 6$ является точкой минимума функции $f(x)$.

Таким образом, мы определили все точки экстремума и их тип.

Ответ: точки максимума: -2, 4; точки минимума: -5, 1, 6.