Номер 935, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 935, страница 276.

Условие.

935 Построить график функции $y = \frac{x^3 - 4}{(x-1)^3}$. Сколько действительных корней имеет уравнение $\frac{x^3 - 4}{(x-1)^3} = C$ при различных значениях C?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Построить график функции $y = \frac{x^3 - 4}{(x-1)^3}$

Для построения графика функции проведем полное ее исследование.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $(x-1)^3 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$ (при $x=0$):
$y(0) = \frac{0^3 - 4}{(0-1)^3} = \frac{-4}{-1} = 4$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 4)$.

С осью $Ox$ (при $y=0$):
$\frac{x^3 - 4}{(x-1)^3} = 0 \Rightarrow x^3 - 4 = 0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}$.
Точка пересечения с осью $Ox$ — $(\sqrt[3]{4}, 0)$ (приблизительно $(1.59, 0)$).

3. Асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота: $x=1$, так как в этой точке функция имеет разрыв. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3 - 4}{(x-1)^3} = \frac{1-4}{(-0)^3} = \frac{-3}{-0} = +\infty$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3 - 4}{(x-1)^3} = \frac{1-4}{(+0)^3} = \frac{-3}{+0} = -\infty$.
Следовательно, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 4}{(x-1)^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3(1 - 4/x^3)}{x^3(1 - 1/x)^3} = 1$.
Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции:
$y' = \left(\frac{x^3 - 4}{(x-1)^3}\right)' = \frac{(x^3-4)'(x-1)^3 - (x^3-4)((x-1)^3)'}{((x-1)^3)^2}$
$y' = \frac{3x^2(x-1)^3 - (x^3-4) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6} = \frac{3(x-1)^2 [x^2(x-1) - (x^3-4)]}{(x-1)^6}$
$y' = \frac{3(x^3 - x^2 - x^3 + 4)}{(x-1)^4} = \frac{3(4-x^2)}{(x-1)^4} = \frac{-3(x-2)(x+2)}{(x-1)^4}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y'=0 \Rightarrow -3(x-2)(x+2)=0$.
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$:
- При $x \in (-\infty, -2)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2, 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1, 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с "минуса" на "плюс", следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(-2) = \frac{(-2)^3 - 4}{(-2-1)^3} = \frac{-12}{-27} = \frac{4}{9}$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с "плюса" на "минус", следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(2) = \frac{2^3 - 4}{(2-1)^3} = \frac{4}{1} = 4$.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = \left(\frac{12-3x^2}{(x-1)^4}\right)' = \frac{-6x(x-1)^4 - (12-3x^2) \cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8}$
$y'' = \frac{-6x(x-1) - 4(12-3x^2)}{(x-1)^5} = \frac{-6x^2+6x-48+12x^2}{(x-1)^5} = \frac{6x^2+6x-48}{(x-1)^5} = \frac{6(x^2+x-8)}{(x-1)^5}$.

Приравняем вторую производную к нулю: $x^2+x-8=0$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Точки возможного перегиба: $x_1 = \frac{-1-\sqrt{33}}{2} \approx -3.37$ и $x_2 = \frac{-1+\sqrt{33}}{2} \approx 2.37$.
Исследуем знак $y''$:
- На $(-\infty, x_1)$ и $(1, x_2)$ $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
- На $(x_1, 1)$ и $(x_2, +\infty)$ $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).
Точки $x_1$ и $x_2$ являются абсциссами точек перегиба.

Сводка и построение графика:

На основе полученных данных строим график. - Левая ветвь ($x<1$): график начинается от горизонтальной асимптоты $y=1$ при $x \to -\infty$, убывает, меняет выпуклость в точке перегиба с абсциссой $x_1 \approx -3.37$, достигает локального минимума в точке $(-2, 4/9)$, затем возрастает, пересекает ось $Oy$ в точке $(0,4)$ и стремится к $+\infty$ при $x \to 1^-$. - Правая ветвь ($x>1$): график начинается от $-\infty$ при $x \to 1^+$, возрастает, пересекает ось $Ox$ в точке $(\sqrt[3]{4}, 0)$, достигает локального максимума в точке $(2, 4)$, меняет выпуклость в точке перегиба с абсциссой $x_2 \approx 2.37$ и затем убывает, асимптотически приближаясь к $y=1$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции построен на основе исследования: он имеет вертикальную асимптоту $x=1$, горизонтальную асимптоту $y=1$, локальный минимум в точке $(-2, 4/9)$ и локальный максимум в точке $(2, 4)$.

Сколько действительных корней имеет уравнение $\frac{x^3 - 4}{(x-1)^3} = C$ при различных значениях C?

Количество действительных корней уравнения $f(x) = C$ равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=C$. Проанализируем количество таких пересечений для построенного графика функции $y = \frac{x^3-4}{(x-1)^3}$, используя найденные значения экстремумов ($y_{min}=4/9$, $y_{max}=4$) и асимптоты ($y=1$).

• При $C > 4$ (прямая выше локального максимума): прямая $y=C$ пересекает левую ветвь графика один раз. Правая ветвь целиком лежит ниже. 1 корень.
• При $C = 4$ (прямая проходит через локальный максимум): прямая касается графика в точке максимума $(2,4)$ и пересекает левую ветвь в точке $(0,4)$. 2 корня.
• При $1 < C < 4$ (прямая между максимумом и асимптотой): прямая пересекает левую ветвь один раз и правую ветвь дважды. 3 корня.
• При $C = 1$ (прямая совпадает с горизонтальной асимптотой): прямая пересекает график в двух точках (решения уравнения $x^2-x-1=0$, то есть $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$). 2 корня.
• При $4/9 < C < 1$ (прямая между асимптотой и минимумом): прямая пересекает левую ветвь дважды и правую ветвь один раз. 3 корня.
• При $C = 4/9$ (прямая проходит через локальный минимум): прямая касается графика в точке минимума $(-2, 4/9)$ и пересекает правую ветвь один раз. 2 корня.
• При $C < 4/9$ (прямая ниже локального минимума): прямая пересекает правую ветвь один раз. Левая ветвь целиком лежит выше. 1 корень.

Ответ:
- Уравнение имеет 1 корень при $C \in (-\infty, 4/9) \cup (4, +\infty)$.
- Уравнение имеет 2 корня при $C = 4/9$, $C = 1$ и $C = 4$.
- Уравнение имеет 3 корня при $C \in (4/9, 1) \cup (1, 4)$.