Номер 932, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 932, страница 276.

Условие.

932 1) $y = xe^{-x}$;

2) $y = xe^{x}$;

3) $y = e^{x^2}$;

4) $y = e^{-x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = xe^{-x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.
Функция определена для всех действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)e^{-(-x)} = -xe^x$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = 0 \cdot e^0 = 0$. Точка пересечения (0, 0).
С осью Ox: $y=0 \implies xe^{-x} = 0$. Так как $e^{-x} > 0$ для любого $x$, то $x=0$. Точка пересечения (0, 0).

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = \left(\frac{\infty}{\infty}\right)$. Применяя правило Лопиталя: $\lim_{x \to +\infty} \frac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.
Наклонных асимптот нет, так как $\lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{xe^{-x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $y' = (xe^{-x})' = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$.
Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \implies e^{-x}(1-x) = 0 \implies 1-x=0 \implies x=1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x < 1$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 1)$.
- При $x > 1$, $y' < 0$, функция убывает на $(1, +\infty)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.
$y_{max} = y(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$. Точка максимума $(1, 1/e)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (e^{-x}(1-x))' = (e^{-x})'(1-x) + e^{-x}(1-x)' = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = e^{-x}(-1+x-1) = e^{-x}(x-2)$.
Приравняем вторую производную к нулю: $y'' = 0 \implies e^{-x}(x-2) = 0 \implies x-2=0 \implies x=2$.
Определим знаки второй производной:
- При $x < 2$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый) на $(-\infty, 2)$.
- При $x > 2$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый) на $(2, +\infty)$.
В точке $x=2$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$y(2) = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}$. Точка перегиба $(2, 2/e^2)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$. Точка максимума $(1, 1/e)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 2]$ и выпуклый вниз на $[2, +\infty)$. Точка перегиба $(2, 2/e^2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$.

2) $y = xe^{x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)e^{-x} = -xe^{-x}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $y=0$. Пересечение с осями в точке (0, 0).

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to +\infty} xe^{x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} xe^{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}} = \left(\frac{-\infty}{\infty}\right)$. По правилу Лопиталя: $\lim_{x \to -\infty} \frac{(x)'}{(e^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.
Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
$y' = (xe^x)' = e^x + xe^x = e^x(1+x)$.
$y'=0 \implies e^x(1+x)=0 \implies x=-1$.
- При $x < -1$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty, -1)$.
- При $x > -1$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-1, +\infty)$.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.
$y_{min} = y(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$. Точка минимума $(-1, -1/e)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
$y'' = (e^x(1+x))' = e^x(1+x) + e^x = e^x(x+2)$.
$y''=0 \implies e^x(x+2)=0 \implies x=-2$.
- При $x < -2$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх на $(-\infty, -2)$.
- При $x > -2$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз на $(-2, +\infty)$.
$x=-2$ — точка перегиба. $y(-2) = -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2}$. Точка перегиба $(-2, -2/e^2)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[-1, +\infty)$. Точка минимума $(-1, -1/e)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, -2]$ и выпуклый вниз на $[-2, +\infty)$. Точка перегиба $(-2, -2/e^2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

3) $y = e^{x^2}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = e^{(-x)^2} = e^{x^2} = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = e^0 = 1$. Точка (0, 1).
С осью Ox: $y=0 \implies e^{x^2} = 0$. Решений нет, так как $e^{x^2} > 0$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
$\lim_{x \to \pm\infty} e^{x^2} = +\infty$. Горизонтальных асимптот нет.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^{x^2}}{x} = \pm\infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
$y' = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$.
$y'=0 \implies 2xe^{x^2}=0 \implies x=0$.
- При $x < 0$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty, 0)$.
- При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $(0, +\infty)$.
$x=0$ — точка минимума. $y_{min} = y(0) = 1$. Точка минимума (0, 1).

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
$y'' = (2xe^{x^2})' = 2e^{x^2} + 2x(2xe^{x^2}) = 2e^{x^2}(1+2x^2)$.
Так как $e^{x^2} > 0$ и $1+2x^2 > 0$ для всех $x$, то $y'' > 0$ на всей области определения.
График функции всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

Ответ: функция четная, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Точка минимума $(0, 1)$. График функции всегда выпуклый вниз, точек перегиба нет. Асимптот нет.

4) $y = e^{-x^2}$

Проведем полное исследование функции (график этой функции известен как кривая Гаусса).

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = e^0 = 1$. Точка (0, 1).
С осью Ox: $e^{-x^2} = 0$. Решений нет.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
$\lim_{x \to \pm\infty} e^{-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{e^{x^2}} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to \pm\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
$y' = (e^{-x^2})' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$.
$y'=0 \implies -2xe^{-x^2}=0 \implies x=0$.
- При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 0)$.
- При $x > 0$, $y' < 0$, функция убывает на $(0, +\infty)$.
$x=0$ — точка максимума. $y_{max} = y(0) = 1$. Точка максимума (0, 1).

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
$y'' = (-2xe^{-x^2})' = -2e^{-x^2} - 2x(-2xe^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2-1)$.
$y''=0 \implies 2x^2-1=0 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.
- При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2}) \cup (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- При $x \in (-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точки $x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ — точки перегиба.
$y(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}) = e^{-(1/\sqrt{2})^2} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$. Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}})$ и $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}})$.

Ответ: функция четная, возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$. Точка максимума $(0, 1)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, -1/\sqrt{2}] \cup [1/\sqrt{2}, +\infty)$ и выпуклый вверх на $[-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}]$. Точки перегиба $(\pm 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{e})$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to \pm\infty$.