Номер 928, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 928, страница 276.

Условие.

928 Построить график функции:

1) $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 3];$

2) $y = x^4 - 10x^2 + 9$ на отрезке $[-3; 3].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 3]$

Для построения графика функции проведем ее исследование.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Находим критические точки:

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат отрезку $[-1; 3]$.

3. Определяем интервалы возрастания и убывания:

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и концы отрезка делят область определения: $[-1; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; 3]$.

• На интервале $[-1; 0)$: $y'(-0.5) = 3(-0.5)^2 - 6(-0.5) = 0.75 + 3 = 3.75 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0; 2)$: $y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(2; 3]$: $y'(2.5) = 3(2.5)^2 - 6(2.5) = 18.75 - 15 = 3.75 > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, в точке $x=0$ находится локальный максимум, а в точке $x=2$ — локальный минимум.

4. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
• $y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$. Точка максимума $(0, 2)$.
• $y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$. Точка минимума $(2, -2)$.
• $y(3) = (3)^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2$. Точка $(3, 2)$.

5. Найдем точки пересечения с осями координат для большей точности:

Пересечение с осью OY: $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$ (уже найдена).

Пересечение с осью OX: $y=0$, $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$. Заметим, что $x=1$ является корнем: $1-3+2=0$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим: $(x-1)(x^2-2x-2)=0$. Корни квадратного уравнения $x^2-2x-2=0$ равны $x = 1 \pm \sqrt{3}$. Точки пересечения с OX: $(1-\sqrt{3}, 0) \approx (-0.73, 0)$, $(1, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0) \approx (2.73, 0)$.

Сводная таблица ключевых точек:

$x$	-1	0	1	2	3
$y$	-2	2	0	-2	2
Примечание	Начало отрезка	Max	Перегиб	Min	Конец отрезка

Ответ: График функции на отрезке $[-1; 3]$ начинается в точке $(-1, -2)$, возрастает до точки локального максимума $(0, 2)$, затем убывает до точки локального минимума $(2, -2)$ (пересекая ось абсцисс в точках $(1-\sqrt{3}, 0)$ и $(1,0)$), и снова возрастает до точки $(3, 2)$ на конце отрезка (пересекая ось абсцисс в точке $(1+\sqrt{3}, 0)$).

2) $y = x^4 - 10x^2 + 9$ на отрезке $[-3; 3]$

Проведем исследование функции для построения графика.

1. Свойства функции:

Функция $y(x) = x^4 - 10x^2 + 9$ является четной, так как $y(-x) = (-x)^4 - 10(-x)^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно исследовать функцию на отрезке $[0; 3]$.

2. Находим производную функции:

$y' = (x^4 - 10x^2 + 9)' = 4x^3 - 20x$.

3. Находим критические точки:

Приравниваем производную к нулю:

$4x^3 - 20x = 0$

$4x(x^2 - 5) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{5}$, $x_3 = -\sqrt{5}$. Все точки принадлежат отрезку $[-3; 3]$ (т.к. $\sqrt{5} \approx 2.24$).

4. Определяем интервалы возрастания и убывания на отрезке $[0; 3]$:

• На интервале $(0; \sqrt{5})$: $y'(1) = 4(1)^3 - 20(1) = -16 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(\sqrt{5}; 3]$: $y'(3) = 4(3)^3 - 20(3) = 108 - 60 = 48 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, $x=0$ — точка локального максимума, $x=\sqrt{5}$ — точка локального минимума. В силу симметрии, $x=-\sqrt{5}$ — также точка локального минимума.

5. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $y(0) = 0^4 - 10(0)^2 + 9 = 9$. Точка максимума $(0, 9)$.
• $y(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$. Точка минимума $(\sqrt{5}, -16)$.
• $y(-\sqrt{5}) = y(\sqrt{5}) = -16$ (в силу четности). Точка минимума $(-\sqrt{5}, -16)$.
• $y(3) = 3^4 - 10(3)^2 + 9 = 81 - 90 + 9 = 0$. Точка $(3, 0)$.
• $y(-3) = y(3) = 0$ (в силу четности). Точка $(-3, 0)$.

6. Найдем точки пересечения с осью OX:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$. Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 10t + 9 = 0$. Корни $t_1=1, t_2=9$.

Возвращаясь к $x$: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$; $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Точки пересечения с OX: $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$.

Сводная таблица ключевых точек:

$x$	-3	$-\sqrt{5}$	-1	0	1	$\sqrt{5}$	3
$y$	0	-16	0	9	0	-16	0
Примечание	Конец отрезка / корень	Min	Корень	Max	Корень	Min	Конец отрезка / корень

Ответ: График функции на отрезке $[-3; 3]$ имеет W-образную форму, симметричную относительно оси OY. Он начинается в точке $(-3, 0)$, убывает до точки локального минимума $(-\sqrt{5}, -16)$, затем возрастает, пересекая ось ОХ в точке $(-1, 0)$, до точки локального максимума $(0, 9)$. Далее, симметрично, график убывает, пересекая ось ОХ в точке $(1, 0)$, до второго локального минимума $(\sqrt{5}, -16)$, и снова возрастает до точки $(3, 0)$ на конце отрезка.