Номер 930, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 51. Применение производной к построению графиков функций - номер 930, страница 276.

Условие.

Построить график функции (930—933).

930 1) $y = 2 + 5x^3 - 3x^5;$

2) $y = 3x^5 - 5x^3;$

3) $y = 4x^5 - 5x^4;$

4) $y = \frac{1}{10}x^5 - \frac{5}{6}x^3 + 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции проведем полное исследование каждой функции.

1) $y = 2 + 5x^3 - 3x^5$

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = 2 + 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = 2 - 5x^3 + 3x^5$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция общего вида. Однако, она симметрична относительно точки $(0, 2)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$, $y = 2 + 0 - 0 = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.
С осью Ox: при $y=0$, $2 + 5x^3 - 3x^5 = 0$. Это уравнение сложно решить аналитически. Мы вернемся к нему после нахождения экстремумов.

4. Поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} (2 + 5x^3 - 3x^5) = \lim_{x \to +\infty} (-3x^5) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (2 + 5x^3 - 3x^5) = \lim_{x \to -\infty} (-3x^5) = +\infty$.

5. Исследование на монотонность и экстремумы.

Найдем первую производную: $y' = (2 + 5x^3 - 3x^5)' = 15x^2 - 15x^4$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$15x^2 - 15x^4 = 0$
$15x^2(1 - x^2) = 0$
$15x^2(1 - x)(1 + x) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Исследуем знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, -1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x = -1$ — точка локального минимума. $y(-1) = 2 + 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = 2 - 5 + 3 = 0$.
Точка $x = 1$ — точка локального максимума. $y(1) = 2 + 5(1)^3 - 3(1)^5 = 2 + 5 - 3 = 4$.
В точке $x=0$ производная не меняет знак, значит, это не экстремум.
Теперь мы можем найти одну из точек пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$. Поскольку это точка минимума, график касается оси Ox в этой точке.

6. Исследование на выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (15x^2 - 15x^4)' = 30x - 60x^3$.
Найдем точки, где $y'' = 0$:
$30x - 60x^3 = 0$
$30x(1 - 2x^2) = 0$
Точки возможного перегиба: $x_1=0$, $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.71$, $x_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71$.
Исследуем знаки второй производной:
- При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
- При $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $y'' > 0$, график вогнутый.
- При $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый.
Все три точки являются точками перегиба.
$y(0) = 2$.
$y(1/\sqrt{2}) = 2 + \frac{5}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{4\sqrt{2}} = 2 + \frac{7}{4\sqrt{2}} = 2 + \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 3.24$.
$y(-1/\sqrt{2}) = 2 - \frac{5}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{4\sqrt{2}} = 2 - \frac{7}{4\sqrt{2}} = 2 - \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 0.76$.

7. Сводная таблица и построение графика.

$x$	$(-\infty, -1)$	$-1$	$(-1, -1/\sqrt{2})$	$-1/\sqrt{2}$	$(-1/\sqrt{2}, 0)$	$0$	$(0, 1/\sqrt{2})$	$1/\sqrt{2}$	$(1/\sqrt{2}, 1)$	$1$	$(1, +\infty)$
$y'$	-	0	+	+	+	0	+	+	+	0	-
$y''$	+	+	+	0	-	0	+	0	-	-	-
$y$	убывает, вогнута	0 (min)	возрастает, вогнута	$2-\frac{7\sqrt{2}}{8}$ (перегиб)	возрастает, выпукла	2 (перегиб)	возрастает, вогнута	$2+\frac{7\sqrt{2}}{8}$ (перегиб)	возрастает, выпукла	4 (max)	убывает, выпукла

Ответ: График функции $y = 2 + 5x^3 - 3x^5$ имеет точку локального минимума $(-1, 0)$, точку локального максимума $(1, 4)$. Пересекает ось Oy в точке $(0, 2)$. Имеет три точки перегиба: $(-1/\sqrt{2}, 2 - 7\sqrt{2}/8)$, $(0, 2)$ и $(1/\sqrt{2}, 2 + 7\sqrt{2}/8)$. При $x \to \infty$ $y \to -\infty$, при $x \to -\infty$ $y \to \infty$.

---

2) $y = 3x^5 - 5x^3$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $y(-x) = 3(-x)^5 - 5(-x)^3 = -3x^5 + 5x^3 = -(3x^5 - 5x^3) = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями:
С Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С Ox: $y=0 \Rightarrow 3x^5 - 5x^3 = 0 \Rightarrow x^3(3x^2 - 5) = 0$. Корни: $x=0$, $x=\pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$. Точки: $(0,0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0)$.

4. Поведение на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

5. Монотонность и экстремумы:
$y' = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2-1) = 15x^2(x-1)(x+1)$.
Критические точки: $x=-1, 0, 1$.
- $(-\infty, -1)$: $y'>0$, возрастает.
- $(-1, 1)$: $y'<0$, убывает.
- $(1, +\infty)$: $y'>0$, возрастает.
$x=-1$ — точка локального максимума. $y(-1) = -3+5=2$. Точка $(-1, 2)$.
$x=1$ — точка локального минимума. $y(1) = 3-5=-2$. Точка $(1, -2)$.
$x=0$ — не экстремум (точка перегиба).

6. Выпуклость и точки перегиба:
$y'' = 60x^3 - 30x = 30x(2x^2 - 1)$.
Точки возможного перегиба: $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$.
- $(-\infty, -1/\sqrt{2})$: $y''<0$, выпукла.
- $(-1/\sqrt{2}, 0)$: $y''>0$, вогнута.
- $(0, 1/\sqrt{2})$: $y''<0$, выпукла.
- $(1/\sqrt{2}, +\infty)$: $y''>0$, вогнута.
Точки перегиба: $x=0$, $y(0)=0$.
$x=1/\sqrt{2}$, $y(1/\sqrt{2}) = 3(\frac{1}{4\sqrt{2}}) - 5(\frac{1}{2\sqrt{2}}) = -\frac{7}{4\sqrt{2}} = -\frac{7\sqrt{2}}{8} \approx -1.24$.
$x=-1/\sqrt{2}$, $y(-1/\sqrt{2}) = \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 1.24$.

Ответ: График функции $y = 3x^5 - 5x^3$ симметричен относительно начала координат, пересекает оси в точках $(0,0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$. Локальный максимум в $(-1, 2)$, локальный минимум в $(1, -2)$. Точки перегиба: $(-1/\sqrt{2}, 7\sqrt{2}/8)$, $(0,0)$, $(1/\sqrt{2}, -7\sqrt{2}/8)$.

---

3) $y = 4x^5 - 5x^4$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $y(-x) = -4x^5 - 5x^4$. Функция общего вида.

3. Пересечения с осями:
С Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С Ox: $y=0 \Rightarrow 4x^5 - 5x^4 = 0 \Rightarrow x^4(4x-5)=0$. Корни: $x=0, x=5/4=1.25$. Точки: $(0,0)$, $(5/4, 0)$.

4. Поведение на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

5. Монотонность и экстремумы:
$y' = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x-1)$.
Критические точки: $x=0, 1$.
- $(-\infty, 0)$: $y'>0$, возрастает.
- $(0, 1)$: $y'<0$, убывает.
- $(1, +\infty)$: $y'>0$, возрастает.
$x=0$ — точка локального максимума. $y(0)=0$. Точка $(0, 0)$.
$x=1$ — точка локального минимума. $y(1) = 4-5=-1$. Точка $(1, -1)$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$y'' = 80x^3 - 60x^2 = 20x^2(4x-3)$.
Точки возможного перегиба: $x=0, x=3/4=0.75$.
- $(-\infty, 3/4)$: $y''<0$, выпукла.
- $(3/4, +\infty)$: $y''>0$, вогнута.
$x=3/4$ — точка перегиба. $y(3/4) = 4(3/4)^5 - 5(3/4)^4 = (3/4)^4(3-5) = -2(81/256) = -81/128 \approx -0.63$.
В точке $x=0$ вторая производная не меняет знак, это не точка перегиба.

Ответ: График функции $y = 4x^5 - 5x^4$ пересекает оси в точках $(0,0)$ и $(5/4, 0)$. Локальный максимум в $(0, 0)$, локальный минимум в $(1, -1)$. Точка перегиба в $(3/4, -81/128)$.

---

4) $y = \frac{1}{10}x^5 - \frac{5}{6}x^3 + 2x$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $y(-x) = -\frac{1}{10}x^5 + \frac{5}{6}x^3 - 2x = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями:
С Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
С Ox: $y=0 \Rightarrow x(\frac{1}{10}x^4 - \frac{5}{6}x^2 + 2) = 0$. Уравнение в скобках $\frac{1}{10}t^2 - \frac{5}{6}t + 2 = 0$ (где $t=x^2$) не имеет действительных корней, так как дискриминант $D = (5/6)^2 - 4(1/10)(2) < 0$. Единственный корень $x=0$.

4. Поведение на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

5. Монотонность и экстремумы:
$y' = \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 2$. Решим $y'=0$: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Пусть $u=x^2$, $u^2-5u+4=0 \Rightarrow (u-1)(u-4)=0$. $u=1$ или $u=4$.
Критические точки: $x = \pm 1, x = \pm 2$.
- $(-\infty, -2)$: $y'>0$, возрастает.
- $(-2, -1)$: $y'<0$, убывает.
- $(-1, 1)$: $y'>0$, возрастает.
- $(1, 2)$: $y'<0$, убывает.
- $(2, +\infty)$: $y'>0$, возрастает.
$x=-2$: лок. максимум. $y(-2) = -8/15 \approx -0.53$.
$x=-1$: лок. минимум. $y(-1) = -19/15 \approx -1.27$.
$x=1$: лок. максимум. $y(1) = 19/15 \approx 1.27$.
$x=2$: лок. минимум. $y(2) = 8/15 \approx 0.53$.

6. Выпуклость и точки перегиба:
$y'' = 2x^3 - 5x = x(2x^2-5)$.
Точки возможного перегиба: $x=0, x=\pm\sqrt{5/2} \approx \pm 1.58$.
- $(-\infty, -\sqrt{5/2})$: $y''<0$, выпукла.
- $(-\sqrt{5/2}, 0)$: $y''>0$, вогнута.
- $(0, \sqrt{5/2})$: $y''<0$, выпукла.
- $(\sqrt{5/2}, +\infty)$: $y''>0$, вогнута.
Точки перегиба: $(0,0)$, $(\sqrt{5/2}, \frac{13\sqrt{10}}{48})$, $(-\sqrt{5/2}, -\frac{13\sqrt{10}}{48})$. ($y(\pm\sqrt{5/2}) \approx \pm 0.86$).

Ответ: График функции $y = \frac{1}{10}x^5 - \frac{5}{6}x^3 + 2x$ симметричен относительно начала координат, проходит через точку $(0,0)$. Имеет два локальных максимума в точках $(-2, -8/15)$ и $(1, 19/15)$, и два локальных минимума в точках $(-1, -19/15)$ и $(2, 8/15)$. Точки перегиба: $(0,0)$ и $(\pm\sqrt{5/2}, \pm\frac{13\sqrt{10}}{48})$.