Номер 937, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 937, страница 280.

Условие.

937 Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$:

1) на отрезке $[-4; 3];$

2) на отрезке $[-2; 1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x$ на отрезке $[-4; 3]$, выполним следующие шаги.

Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36$.

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^2 + 6x - 36 = 0$
Разделим уравнение на 6, чтобы упростить его:
$x^2 + x - 6 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Проверим, принадлежат ли эти точки заданному отрезку $[-4; 3]$. Обе критические точки, $x = -3$ и $x = 2$, принадлежат этому отрезку.

Теперь вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка ($x=-4$ и $x=3$):
$f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = 64$;
$f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81$;
$f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = -44$;
$f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = -27$.

Сравнивая полученные значения $\{64, 81, -44, -27\}$, мы видим, что наибольшее значение функции на отрезке равно $81$, а наименьшее — $-44$.

Ответ: наибольшее значение $81$, наименьшее значение $-44$.

2) Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1]$.

Критические точки функции, как мы уже нашли, это $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Проверим, принадлежат ли они отрезку $[-2; 1]$.
Точка $x_1 = -3$ не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
Точка $x_2 = 2$ также не принадлежит отрезку $[-2; 1]$.

Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно вычислить значения функции на концах этого отрезка ($x=-2$ и $x=1$):
$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 36(-2) = 2(-8) + 3(4) + 72 = -16 + 12 + 72 = 68$;
$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 36(1) = 2(1) + 3(1) - 36 = 2 + 3 - 36 = -31$.

Сравнивая значения $\{68, -31\}$, находим, что наибольшее значение на данном отрезке равно $68$, а наименьшее равно $-31$.

Ответ: наибольшее значение $68$, наименьшее значение $-31$.