Номер 943, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 943, страница 281.

Условие.

943 Из всех прямоугольников, площадь которых равна $9 \text{ см}^2$, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S$) и его периметр ($P$) вычисляются по формулам:
$S = a \cdot b$
$P = 2(a + b)$

Согласно условию задачи, площадь прямоугольника составляет $9 \text{ см}^2$. Следовательно:
$a \cdot b = 9$

Наша задача — минимизировать периметр $P$. Для этого выразим одну сторону через другую, используя известную площадь. Например, выразим $b$ через $a$:
$b = \frac{9}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. В результате периметр будет представлен как функция одной переменной $a$:
$P(a) = 2\left(a + \frac{9}{a}\right)$

Чтобы найти наименьшее значение периметра, необходимо найти точку минимума функции $P(a)$. Для этого найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю.
$P'(a) = \left(2a + \frac{18}{a}\right)' = 2 - \frac{18}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$2 - \frac{18}{a^2} = 0$
$2 = \frac{18}{a^2}$
$2a^2 = 18$
$a^2 = 9$

Поскольку длина стороны ($a$) может быть только положительным числом, получаем:
$a = 3 \text{ см}$

Чтобы удостовериться, что $a = 3$ является точкой минимума, можно проанализировать знак производной или найти вторую производную. Найдем вторую производную:
$P''(a) = \left(2 - 18a^{-2}\right)' = -18(-2)a^{-3} = \frac{36}{a^3}$
При $a = 3$, значение второй производной $P''(3) = \frac{36}{3^3} = \frac{36}{27} > 0$. Так как вторая производная положительна, то $a=3$ является точкой минимума функции $P(a)$.

Теперь определим длину второй стороны $b$:
$b = \frac{9}{a} = \frac{9}{3} = 3 \text{ см}$

Получается, что стороны прямоугольника равны ($a = b = 3 \text{ см}$), а значит, этот прямоугольник является квадратом.

Ответ: Прямоугольник с наименьшим периметром при площади $9 \text{ см}^2$ — это квадрат со стороной $3 \text{ см}$.