Номер 945, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 945, страница 281.

Условие.

945 Найти наибольшее значение функции:

1) $3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

2) $3x-2x\sqrt{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Рассмотрим функцию $y = 3\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном промежутке найдем ее производную. Сначала преобразуем функцию, представив корни в виде степеней: $y = 3x^{1/2} - x \cdot x^{1/2} = 3x^{1/2} - x^{3/2}$.

Теперь найдем производную функции $y'$: $y' = (3x^{1/2} - x^{3/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки функции: $y' = 0$ $\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$ $\frac{3}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$ (это допустимо, так как $x > 0$): $3 = 3x$ $x = 1$

Критическая точка $x=1$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=1$ делит область определения. Производную можно записать в виде $y' = \frac{3 - 3x}{2\sqrt{x}}$. Так как знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен при $x > 0$, знак производной зависит от знака числителя $3-3x = 3(1-x)$.

• При $0 < x < 1$, выражение $(1-x)$ положительно, следовательно $y' > 0$, и функция возрастает.
• При $x > 1$, выражение $(1-x)$ отрицательно, следовательно $y' < 0$, и функция убывает.

Таким образом, в точке $x=1$ функция достигает своего максимума.

Найдем значение функции в этой точке: $y(1) = 3\sqrt{1} - 1\sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

Поскольку до точки $x=1$ функция возрастает, а после — убывает, то $y(1) = 2$ является наибольшим значением функции на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: 2

2)

Рассмотрим функцию $y = 3x - 2x\sqrt{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Преобразуем функцию для удобства дифференцирования: $y = 3x - 2x^{3/2}$.

Найдем производную функции $y'$: $y' = (3x - 2x^{3/2})' = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 3 - 3\sqrt{x}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$ $3 - 3\sqrt{x} = 0$ $3\sqrt{x} = 3$ $\sqrt{x} = 1$ $x = 1$

Критическая точка $x=1$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$.

Определим знаки производной $y' = 3(1 - \sqrt{x})$ на интервалах.

• При $0 < x < 1$, имеем $0 < \sqrt{x} < 1$, следовательно $1 - \sqrt{x} > 0$, значит $y' > 0$, и функция возрастает.
• При $x > 1$, имеем $\sqrt{x} > 1$, следовательно $1 - \sqrt{x} < 0$, значит $y' < 0$, и функция убывает.

Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего максимума.

Вычислим значение функции в точке максимума: $y(1) = 3(1) - 2(1)\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$.

Поскольку функция возрастает до $x=1$ и убывает после, найденное значение является наибольшим на всем промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: 1