Номер 951, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 951, страница 282.

Условие.

951 Найти на параболе $y = x^2$ точку, ближайшую к точке A (2; 0,5).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомая точка на параболе $y = x^2$ имеет координаты $M(x; y)$. Так как точка $M$ принадлежит параболе, ее координаты можно записать в виде $M(x; x^2)$.

Расстояние $d$ между точкой $A(2; 0,5)$ и точкой $M(x; x^2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2}$

Чтобы найти точку, в которой расстояние минимально, можно минимизировать не само расстояние $d$, а его квадрат $d^2$. Это упростит вычисления, так как мы избавимся от квадратного корня, а точка минимума останется той же.

Рассмотрим функцию квадрата расстояния $f(x) = d^2$:

$f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + (x^4 - x^2 + 0,25) = x^4 - 4x + 4,25$

Для нахождения точки минимума функции $f(x)$, найдем ее производную $f'(x)$ и приравняем ее к нулю.

$f'(x) = (x^4 - 4x + 4,25)' = 4x^3 - 4$

Теперь найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4 = 0$

$4x^3 = 4$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Мы нашли одну критическую точку $x=1$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной.

$f''(x) = (4x^3 - 4)' = 12x^2$

Найдем значение второй производной в точке $x=1$:

$f''(1) = 12 \cdot 1^2 = 12$

Так как $f''(1) > 0$, точка $x=1$ является точкой минимума функции $f(x)$, а значит, и расстояния $d$.

Теперь найдем ординату (координату $y$) искомой точки, подставив $x=1$ в уравнение параболы $y = x^2$:

$y = 1^2 = 1$

Следовательно, искомая точка на параболе, ближайшая к точке $A(2; 0,5)$, имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.