Номер 958, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 958, страница 287.

Условие.

958 Найти точки экстремума функции:

1) $y = x^3 - 4x^2$;

2) $y = 3x^4 - 4x^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = x^3 - 4x^2$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю, чтобы найти стационарные точки. Затем нужно исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Находим область определения функции. Так как функция является многочленом, её область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$y' = (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 8x$.

3. Приравниваем производную к нулю и находим стационарные точки:
$3x^2 - 8x = 0$
$x(3x - 8) = 0$
Отсюда получаем две стационарные точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{8}{3}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые стационарные точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{8}{3})$ и $(\frac{8}{3}; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$. $y'(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) = 3 + 8 = 11 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(0; \frac{8}{3})$ возьмем точку $x = 1$. $y'(1) = 3(1)^2 - 8(1) = 3 - 8 = -5 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(\frac{8}{3}; +\infty)$ возьмем точку $x = 3$. $y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 = 3 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = 0$ является точкой максимума.
В точке $x = \frac{8}{3}$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x = \frac{8}{3}$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{max} = 0$, $x_{min} = \frac{8}{3}$.

2) $y = 3x^4 - 4x^3$

Действуем по аналогичному алгоритму.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$y' = (3x^4 - 4x^3)' = 12x^3 - 12x^2$.

3. Приравниваем производную к нулю и находим стационарные точки:
$12x^3 - 12x^2 = 0$
$12x^2(x - 1) = 0$
Отсюда получаем две стационарные точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$. $y'(-1) = 12(-1)^2(-1 - 1) = 12 \cdot 1 \cdot (-2) = -24 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$ возьмем точку $x = 0.5$. $y'(0.5) = 12(0.5)^2(0.5 - 1) = 12 \cdot 0.25 \cdot (-0.5) = -1.5 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x = 2$. $y'(2) = 12(2)^2(2 - 1) = 12 \cdot 4 \cdot 1 = 48 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет свой знак (остается отрицательной), следовательно, в этой точке экстремума нет.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 1$.