Номер 953, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 53. Выпуклость графика функции, точки перегиба - номер 953, страница 287.

Условие.

953 Найти $f''(x)$, если:

1) $f(x) = x^2 \cos x;$

2) $f(x) = x^3 \sin x;$

3) $f(x) = x^5 + 2x^3 - x^2 + 2;$

4) $f(x) = x^4 - 3x^3 + 5x + 6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = x^2 \cos x$. Для нахождения второй производной $f''(x)$ необходимо дважды продифференцировать исходную функцию.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)' \cos x + x^2 (\cos x)' = 2x \cos x + x^2 (-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$. Применим правило производной произведения к каждому слагаемому:

$f''(x) = (2x \cos x - x^2 \sin x)' = (2x \cos x)' - (x^2 \sin x)'$

$f''(x) = ((2x)' \cos x + 2x (\cos x)') - ((x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)')$

$f''(x) = (2 \cos x + 2x (-\sin x)) - (2x \sin x + x^2 \cos x)$

$f''(x) = 2 \cos x - 2x \sin x - 2x \sin x - x^2 \cos x$

Сгруппируем подобные члены:

$f''(x) = (2 - x^2) \cos x - 4x \sin x$.

Ответ: $f''(x) = (2 - x^2) \cos x - 4x \sin x$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 \sin x$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^3)' \sin x + x^3 (\sin x)' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (3x^2 \sin x + x^3 \cos x)' = (3x^2 \sin x)' + (x^3 \cos x)'$

$f''(x) = ((3x^2)' \sin x + 3x^2 (\sin x)') + ((x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)')$

$f''(x) = (6x \sin x + 3x^2 \cos x) + (3x^2 \cos x + x^3 (-\sin x))$

$f''(x) = 6x \sin x + 3x^2 \cos x + 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$

Сгруппируем подобные члены:

$f''(x) = (6x - x^3) \sin x + 6x^2 \cos x$.

Ответ: $f''(x) = (6x - x^3) \sin x + 6x^2 \cos x$.

3) Дана функция $f(x) = x^5 + 2x^3 - x^2 + 2$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = 5x^{5-1} + 2 \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 2x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (5x^4 + 6x^2 - 2x)' = 5 \cdot 4x^{4-1} + 6 \cdot 2x^{2-1} - 2 = 20x^3 + 12x - 2$.

Ответ: $f''(x) = 20x^3 + 12x - 2$.

4) Дана функция $f(x) = x^4 - 3x^3 + 5x + 6$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = 4x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 5 + 0 = 4x^3 - 9x^2 + 5$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (4x^3 - 9x^2 + 5)' = 4 \cdot 3x^{3-1} - 9 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 12x^2 - 18x$.

Ответ: $f''(x) = 12x^2 - 18x$.