Номер 954, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 53. Выпуклость графика функции, точки перегиба - номер 954, страница 287.

Условие.

954 Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции $f(x)$, если:

1) $f(x)=(x+1)^4$;

2) $f(x)=x^4-6x^2+4$;

3) $f(x)=(x^2-3x+2)e^x$;

4) $f(x)=x^3-6x \ln x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $f(x) = (x+1)^4$

Для нахождения интервалов выпуклости функции найдем ее вторую производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим первую производную:

$f'(x) = \left((x+1)^4\right)' = 4(x+1)^3$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = \left(4(x+1)^3\right)' = 12(x+1)^2$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки возможного перегиба: $12(x+1)^2 = 0$, откуда $x = -1$.

Проанализируем знак второй производной. Так как выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно, то $f''(x) = 12(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$. Вторая производная не меняет свой знак.

Если $f''(x) > 0$, функция выпукла вниз. В нашем случае это выполняется для всех $x \neq -1$. Поскольку в точке $x=-1$ функция непрерывна, а слева и справа от нее выпукла вниз, то она выпукла вниз на всей числовой прямой.

Интервалов, где $f''(x) < 0$, нет, следовательно, нет интервалов выпуклости вверх.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале $(-\infty, +\infty)$; интервалов выпуклости вверх нет.

2) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 4$

Найдем вторую производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Первая производная: $f'(x) = (x^4 - 6x^2 + 4)' = 4x^3 - 12x$.

Вторая производная: $f''(x) = (4x^3 - 12x)' = 12x^2 - 12$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $12x^2 - 12 = 0$, что равносильно $12(x^2 - 1) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них.

• На интервале $(-\infty, -1)$: выберем $x=-2$. $f''(-2) = 12((-2)^2 - 1) = 12(3) = 36 > 0$. Функция выпукла вниз.
• На интервале $(-1, 1)$: выберем $x=0$. $f''(0) = 12(0^2 - 1) = -12 < 0$. Функция выпукла вверх.
• На интервале $(1, +\infty)$: выберем $x=2$. $f''(2) = 12(2^2 - 1) = 12(3) = 36 > 0$. Функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-1, 1)$; выпукла вниз на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

3) $f(x) = (x^2 - 3x + 2)e^x$

Найдем вторую производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Используем правило произведения для нахождения первой производной:

$f'(x) = (x^2 - 3x + 2)'e^x + (x^2 - 3x + 2)(e^x)' = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 2)e^x = (x^2 - x - 1)e^x$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (x^2 - x - 1)'e^x + (x^2 - x - 1)(e^x)' = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 1)e^x = (x^2 + x - 2)e^x$.

Найдем нули второй производной. Так как $e^x > 0$ для всех $x$, то $f''(x)=0$ когда $x^2 + x - 2 = 0$.

Решаем квадратное уравнение: $(x+2)(x-1)=0$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Точки $x=-2$ и $x=1$ делят числовую ось на три интервала. Знак $f''(x)$ совпадает со знаком многочлена $x^2 + x - 2$. Это парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty, -2)$: $f''(x) > 0$. Функция выпукла вниз.
• На интервале $(-2, 1)$: $f''(x) < 0$. Функция выпукла вверх.
• На интервале $(1, +\infty)$: $f''(x) > 0$. Функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-2, 1)$; выпукла вниз на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1, +\infty)$.

4) $f(x) = x^3 - 6x \ln x$

Область определения функции определяется условием $x > 0$, то есть $D(f) = (0, +\infty)$.

Находим первую производную:

$f'(x) = (x^3)' - (6x \ln x)' = 3x^2 - (6 \ln x + 6x \cdot \frac{1}{x}) = 3x^2 - 6 \ln x - 6$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (3x^2 - 6 \ln x - 6)' = 6x - \frac{6}{x} = \frac{6x^2 - 6}{x}$.

Найдем точки, в которых $f''(x) = 0$: $\frac{6x^2 - 6}{x} = 0$. Так как $x > 0$, то $6x^2 - 6 = 0$, откуда $x^2 = 1$. Учитывая область определения $x>0$, получаем $x=1$.

Точка $x=1$ делит область определения на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них. Знак $f''(x)$ на области определения совпадает со знаком числителя $6(x^2 - 1)$.

• На интервале $(0, 1)$: выберем $x=0.5$. $f''(0.5) = \frac{6(0.5^2-1)}{0.5} < 0$. Функция выпукла вверх.
• На интервале $(1, +\infty)$: выберем $x=2$. $f''(2) = \frac{6(2^2-1)}{2} > 0$. Функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(0, 1)$; выпукла вниз на интервале $(1, +\infty)$.