Номер 949, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 949, страница 282.

Условие.

949 Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной $a$ так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая $BK = x$, найти такое значение $x$, при котором площадь треугольника наименьшая.

Рис. 142

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и высотой $BD$. В треугольник вписан квадрат со стороной $a$ так, что одна его сторона лежит на основании $AC$. Обозначим вершины квадрата, лежащие на боковых сторонах $AB$ и $BC$ как $M$ и $N$ соответственно.

Высота треугольника $BD$ является также его медианой и осью симметрии. Она пересекает верхнюю сторону квадрата $MN$ в ее середине, точке $K$. По условию задачи, длина отрезка $BK$ равна $x$.

Высота квадрата равна его стороне $a$. Расстояние от стороны $MN$ до основания $AC$ равно $a$. Таким образом, длина отрезка $KD$ равна $a$.

Полная высота треугольника $BD$ складывается из длин отрезков $BK$ и $KD$: $BD = BK + KD = x + a$

Рассмотрим $\triangle BMN$ и $\triangle BAC$. Так как сторона квадрата $MN$ параллельна основанию $AC$, эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия следует, что отношение их высот равно отношению их оснований: $$ \frac{BK}{BD} = \frac{MN}{AC} $$ Подставим известные значения: $BK = x$, $BD = x+a$, $MN = a$: $$ \frac{x}{x+a} = \frac{a}{AC} $$ Отсюда выразим длину основания $AC$: $$ AC = \frac{a(x+a)}{x} $$

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Запишем площадь треугольника $\triangle ABC$ как функцию от переменной $x$: $$ S(x) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a(x+a)}{x} \cdot (x+a) = \frac{a(x+a)^2}{2x} $$

Для нахождения значения $x$, при котором площадь будет наименьшей, необходимо исследовать функцию $S(x)$ на экстремум. Для этого найдем ее производную по $x$. Упростим выражение для $S(x)$: $$ S(x) = \frac{a}{2x}(x^2 + 2ax + a^2) = \frac{a}{2}\left(x + 2a + \frac{a^2}{x}\right) $$ Теперь найдем производную $S'(x)$: $$ S'(x) = \frac{d}{dx}\left[ \frac{a}{2}\left(x + 2a + \frac{a^2}{x}\right) \right] = \frac{a}{2}\left(1 - \frac{a^2}{x^2}\right) $$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$ S'(x) = 0 \implies \frac{a}{2}\left(1 - \frac{a^2}{x^2}\right) = 0 $$ Поскольку сторона квадрата $a > 0$, то: $$ 1 - \frac{a^2}{x^2} = 0 $$ $$ \frac{a^2}{x^2} = 1 $$ $$ x^2 = a^2 $$ Так как $x$ — это длина отрезка, $x$ должен быть положительным, поэтому $x = a$.

Чтобы убедиться, что $x=a$ является точкой минимума, проверим знак второй производной $S''(x)$: $$ S''(x) = \frac{d}{dx}\left[ \frac{a}{2}\left(1 - a^2x^{-2}\right) \right] = \frac{a}{2}\left( -a^2(-2)x^{-3} \right) = \frac{a^3}{x^3} $$ При $x=a$, вторая производная $S''(a) = \frac{a^3}{a^3} = 1$. Поскольку $S''(a) = 1 > 0$, в точке $x=a$ функция $S(x)$ достигает своего минимума.

Ответ: Наименьшая площадь треугольника достигается при $x=a$.