Номер 946, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 946, страница 282.

Условие.

946 Найти наименьшее значение функции:

1) $e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1);$

2) $\frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти наименьшее значение функции $y(x) = e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1)$, мы воспользуемся производной.

Сначала найдем производную функции $y(x)$ по $x$:

$y'(x) = (e^{3x} - 3x)' = (e^{3x})' - (3x)' = e^{3x} \cdot (3x)' - 3 = 3e^{3x} - 3$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y'(x) = 0$

$3e^{3x} - 3 = 0$

$3e^{3x} = 3$

$e^{3x} = 1$

Так как $e^0 = 1$, то $3x = 0$, откуда $x = 0$.

Критическая точка $x = 0$ принадлежит заданному интервалу $(-1; 1)$.

Теперь определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает интервал $(-1; 1)$, чтобы определить характер экстремума.

• При $x \in (-1; 0)$, например $x = -0.5$, имеем $y'(-0.5) = 3e^{3(-0.5)} - 3 = 3e^{-1.5} - 3 = \frac{3}{e^{1.5}} - 3$. Поскольку $e^{1.5} > 1$, то $\frac{3}{e^{1.5}} < 3$, следовательно, $y'(x) < 0$. Функция убывает на этом интервале.
• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, имеем $y'(0.5) = 3e^{3(0.5)} - 3 = 3e^{1.5} - 3$. Поскольку $e^{1.5} > 1$, то $3e^{1.5} > 3$, следовательно, $y'(x) > 0$. Функция возрастает на этом интервале.

Так как в точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Поскольку это единственная критическая точка на интервале, то в ней функция достигает своего наименьшего значения.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(0) = e^{3 \cdot 0} - 3 \cdot 0 = e^0 - 0 = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции на интервале $(-1; 1)$ равно 1.

2) Найдем наименьшее значение функции $y(x) = \frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2)$.

Область определения функции задается условиями $x \neq 0$ и $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$. Заданный интервал $(0; 2)$ входит в область определения.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (\frac{1}{x} + \ln x)' = (x^{-1})' + (\ln x)' = -1 \cdot x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y'(x) = 0$

$-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{-1+x}{x^2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Так как $x \in (0;2)$, знаменатель $x^2 \neq 0$.

$-1 + x = 0$

$x = 1$.

Критическая точка $x = 1$ принадлежит заданному интервалу $(0; 2)$.

Определим знак производной $y'(x) = \frac{x-1}{x^2}$ на интервалах, на которые точка $x=1$ разбивает интервал $(0; 2)$.

• При $x \in (0; 1)$, числитель $x-1 < 0$, а знаменатель $x^2 > 0$. Следовательно, $y'(x) < 0$, и функция убывает.
• При $x \in (1; 2)$, числитель $x-1 > 0$, а знаменатель $x^2 > 0$. Следовательно, $y'(x) > 0$, и функция возрастает.

Таким образом, в точке $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, что означает, что это точка минимума. Это единственная критическая точка на интервале, поэтому в ней достигается наименьшее значение функции.

Вычислим значение функции в точке минимума:

$y(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + 0 = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции на интервале $(0; 2)$ равно 1.