Номер 950, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Параграф 52. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 950, страница 282.

Условие.

950 Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на оси $Ox$, вторая — на положительной полуоси $Oy$, третья — в начале координат, а четвёртая — на параболе $y = 3 - x^2$, выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $O(0, 0)$, $A(x, 0)$, $B(x, y)$ и $C(0, y)$. Согласно условию задачи, одна из вершин находится в начале координат, что соответствует точке $O(0, 0)$. Так как это прямоугольник с вершиной в начале координат и еще одной вершиной на оси $Ox$ и другой на оси $Oy$, его стороны лежат на осях координат.

Вершина на оси $Ox$ имеет координаты $(x_0, 0)$. Вершина на положительной полуоси $Oy$ имеет координаты $(0, y_0)$ с $y_0 > 0$. Четвертая вершина, противолежащая началу координат, будет иметь координаты $(x_0, y_0)$.

По условию, четвертая вершина лежит на параболе $y = 3 - x^2$. Следовательно, ее координаты $(x_0, y_0)$ должны удовлетворять этому уравнению: $y_0 = 3 - x_0^2$.

Площадь прямоугольника $S$ определяется как произведение длин его сторон, которые равны $|x_0|$ и $y_0$. $S = |x_0| \cdot y_0$.

Так как $y_0$ должно быть положительным (вершина на положительной полуоси $Oy$), то $3 - x_0^2 > 0$, что означает $x_0^2 < 3$, или $-\sqrt{3} < x_0 < \sqrt{3}$.

Функция площади $S = |x_0| \cdot (3 - x_0^2)$ является четной относительно $x_0$, так как $|-x_0| \cdot (3 - (-x_0)^2) = |x_0| \cdot (3 - x_0^2)$. Это означает, что для нахождения максимальной площади мы можем рассмотреть только случай $x_0 > 0$. В этом случае $|x_0| = x_0$, и задача сводится к нахождению максимума функции $S(x) = x(3 - x^2)$ на интервале $0 < x < \sqrt{3}$.

Запишем функцию площади: $S(x) = 3x - x^3$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $S(x)$ по $x$: $S'(x) = \frac{d}{dx}(3x - x^3) = 3 - 3x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3 - 3x^2 = 0$ $3(1 - x^2) = 0$ $x^2 = 1$

Так как мы ищем решение на интервале $(0, \sqrt{3})$, нас интересует только положительный корень $x = 1$.

Чтобы убедиться, что $x=1$ является точкой максимума, можно использовать вторую производную: $S''(x) = \frac{d}{dx}(3 - 3x^2) = -6x$. При $x=1$, $S''(1) = -6(1) = -6$. Поскольку вторая производная отрицательна, в точке $x=1$ находится локальный максимум.

На границах интервала $(0, \sqrt{3})$ значения функции площади стремятся к нулю: При $x \to 0$, $S(x) \to 0$. При $x \to \sqrt{3}$, $S(x) = \sqrt{3}(3 - (\sqrt{3})^2) = 0$. Поскольку функция непрерывна, положительна внутри интервала и равна нулю на его концах, найденный локальный максимум является и глобальным максимумом на этом интервале.

Теперь вычислим значение наибольшей площади, подставив $x=1$ в функцию $S(x)$: $S_{max} = S(1) = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: 2.