Номер 956, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 956, страница 287.

Условие.

956 Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) $y = 2x^3 + 3x^2 - 2$;

2) $y = \frac{2}{3} x^3 - x^2 - 4x + 5$;

3) $y = \frac{3}{x} - 1$;

4) $y = \frac{2}{x - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2x^3 + 3x^2 - 2$

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на числовой оси.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 + 3x^2 - 2)' = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 0 = 6x^2 + 6x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$6x^2 + 6x = 0$

$6x(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

4. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале, подставив в нее любую точку из этого интервала.

• На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2$. $y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(-1; 0)$: возьмем $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; +\infty)$: возьмем $x = 1$. $y'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 12 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна в критических точках, их можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1; 0]$.

---

2) $y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (\frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 4 = 2x^2 - 2x - 4$.

3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

4. Критические точки $-1$ и $2$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

• На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2$. $y'(-2) = 2(-2)^2 - 2(-2) - 4 = 8 + 4 - 4 = 8 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-1; 2)$: возьмем $x = 0$. $y'(0) = 2(0)^2 - 2(0) - 4 = -4 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмем $x = 3$. $y'(3) = 2(3)^2 - 2(3) - 4 = 18 - 6 - 4 = 8 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1; 2]$.

---

3) $y = \frac{3}{x} - 1$

1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции. Для удобства запишем функцию как $y = 3x^{-1} - 1$.

$y' = (3x^{-1} - 1)' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

3. Находим критические точки. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{3}{x^2} = 0$, не имеет решений. Производная не определена в точке $x = 0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Таким образом, у функции нет критических точек. Знак производной постоянен на каждом из интервалов области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Выражение $x^2$ всегда положительно при $x \neq 0$. Поэтому производная $y' = -\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Следовательно, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

---

4) $y = \frac{2}{x-3}$

1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, т.е. $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Находим производную функции. Запишем функцию как $y = 2(x-3)^{-1}$.

$y' = (2(x-3)^{-1})' = 2 \cdot (-1)(x-3)^{-2} \cdot (x-3)' = -2(x-3)^{-2} = -\frac{2}{(x-3)^2}$.

3. Находим критические точки. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{2}{(x-3)^2} = 0$, не имеет решений. Производная не определена в точке $x = 3$, которая не входит в область определения функции.

4. Критических точек нет. Определим знак производной на интервалах области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Числитель равен -2. Следовательно, производная $y' = -\frac{2}{(x-3)^2}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Значит, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.