Номер 962, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 962, страница 288.

Условие.

962 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-2; 2];

2) $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ на отрезке $[-4; 0];

3) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-4; 3];

4) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-2; 2]$, найдем ее производную: $f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0$. Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Заданному отрезку $[-2; 2]$ принадлежит только точка $x = 0$. Теперь вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка:

• $f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$
• $f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 24 + 9 = -23$
• $f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$

Сравнивая полученные значения $\{-23, -7, 9\}$, заключаем, что наибольшее значение функции на отрезке равно 9, а наименьшее равно -23.
Ответ: наибольшее значение 9, наименьшее значение -23.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ на отрезке $[-4; 0]$. Найдем производную: $f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $3x^2 + 12x + 9 = 0$, что эквивалентно $x^2 + 4x + 3 = 0$. Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Обе точки принадлежат отрезку $[-4; 0]$. Вычислим значения функции в этих критических точках и на концах отрезка:

• $f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 96 - 36 = -4$
• $f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0$
• $f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4$
• $f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0$

Сравнивая значения $\{-4, 0\}$, видим, что наибольшее значение равно 0, а наименьшее равно -4.
Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -4.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-4; 3]$. Производная функции: $f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$. Критические точки находим из условия $f'(x) = 0$: $4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$. Все три точки лежат внутри отрезка $[-4; 3]$. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 32 + 3 = 227$
• $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
• $f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$
• $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
• $f(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66$

Сравнивая полученные значения $\{227, 2, 3, 66\}$, находим, что наибольшее значение равно 227, а наименьшее равно 2.
Ответ: наибольшее значение 227, наименьшее значение 2.

4) Для функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2]$ найдем производную: $f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$. Критические точки определяются уравнением $4x^3 - 16x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 4) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Все три точки принадлежат отрезку $[-3; 2]$ (точка $x=2$ является его концом). Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14$
• $f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$
• $f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5$
• $f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$

Из набора значений $\{14, -11, 5\}$ наибольшее значение равно 14, а наименьшее равно -11.
Ответ: наибольшее значение 14, наименьшее значение -11.