Номер 4, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя к главе 9 - номер 4, страница 288.

Условие.

4 Функция $y = x + \frac{4}{x}$ непрерывна на отрезке $[1; 5]$. Найти её наибольшее и наименьшее значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x + \frac{4}{x}$ на отрезке $[1; 5]$, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем сравнить полученные значения.

1. Нахождение производной функции

Сначала найдем производную функции $y(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y(x) = x + 4x^{-1}$.

Производная функции: $y'(x) = \left(x + 4x^{-1}\right)' = (x)' + (4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

2. Нахождение критических точек

Критические точки – это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная $y'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$ не существует при $x=0$, но эта точка не входит в заданный отрезок $[1; 5]$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$1 - \frac{4}{x^2} = 0$

$1 = \frac{4}{x^2}$

$x^2 = 4$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Вычисление значений функции в точках-кандидатах

Из найденных критических точек только $x=2$ принадлежит отрезку $[1; 5]$. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нужно вычислить её значения в следующих точках: $x=1$ (начало отрезка), $x=2$ (критическая точка) и $x=5$ (конец отрезка).

• При $x=1$: $y(1) = 1 + \frac{4}{1} = 1 + 4 = 5$
• При $x=2$: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$
• При $x=5$: $y(5) = 5 + \frac{4}{5} = 5 + 0.8 = 5.8$

4. Выбор наибольшего и наименьшего значений

Сравниваем полученные значения: $y(1)=5$, $y(2)=4$, $y(5)=5.8$.

Наименьшее из этих значений равно 4.

Наибольшее из этих значений равно 5.8.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно 4, а наибольшее значение равно 5.8.