Номер 970, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 970, страница 289.

Условие.

970 Построить график функции:

1) $y = \frac{2}{x^2 - 4}$;

2) $y = \frac{2}{x^2 + 4}$;

3) $y = (x - 1)^2 (x + 2)$;

4) $y = x (x - 1)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графиков функций проведем их полное исследование.

1) $y = \frac{2}{x^2 - 4}$

1. Область определения. Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность. $y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 4} = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{2}{0^2 - 4} = -\frac{1}{2}$. Точка пересечения $(0; -0.5)$.
С осью Ox: $y=0 \implies \frac{2}{x^2 - 4} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю. График не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x = 2$ и $x = -2$, так как в этих точках знаменатель равен нулю.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2 - 4} = 0$. Следовательно, $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную: $y' = (\frac{2}{x^2 - 4})' = -\frac{2 \cdot (x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = -\frac{4x}{(x^2 - 4)^2}$.
Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \implies -4x=0 \implies x=0$.
Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен (кроме точек разрыва). Знак производной зависит от знака числителя $-4x$.
- При $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 2) \cup (2; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y(0) = -0.5$. Точка максимума: $(0; -0.5)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (-\frac{4x}{(x^2 - 4)^2})' = -4 \frac{1 \cdot (x^2-4)^2 - x \cdot 2(x^2-4) \cdot 2x}{(x^2-4)^4} = -4 \frac{x^2-4-4x^2}{(x^2-4)^3} = \frac{4(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}$.
Числитель $4(3x^2+4)$ всегда положителен. Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x^2-4)^3$.
- При $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$, $x^2-4 > 0 \implies y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (-2; 2)$, $x^2-4 < 0 \implies y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).
Точек перегиба нет.

Ответ: Для построения графика нужно:1. Нарисовать оси координат и отметить асимптоты: вертикальные прямые $x=-2$, $x=2$ и горизонтальную прямую $y=0$.2. Отметить точку локального максимума $(0, -0.5)$.3. Нарисовать ветвь графика на интервале $(-2, 2)$: она начинается от асимптоты $x=-2$ из $-\infty$, проходит через максимум $(0, -0.5)$ и уходит к асимптоте $x=2$ в $-\infty$. Эта ветвь выпукла вверх.4. Нарисовать ветвь на интервале $(2, +\infty)$: она начинается от асимптоты $x=2$ из $+\infty$ и асимптотически приближается к оси Ox ($y=0$) справа. Эта ветвь выпукла вниз.5. В силу четности функции, симметрично отразить ветвь с интервала $(2, +\infty)$ относительно оси Oy, чтобы получить ветвь на интервале $(-\infty, -2)$.

2) $y = \frac{2}{x^2 + 4}$

1. Область определения. Знаменатель $x^2 + 4$ всегда положителен (минимум 4 при $x=0$), поэтому функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность. $y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 + 4} = \frac{2}{x^2 + 4} = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{2}{0^2 + 4} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения $(0; 0.5)$.
С осью Ox: $y=0 \implies \frac{2}{x^2 + 4} = 0$. Решений нет. График не пересекает ось Ox и лежит полностью выше нее, так как $y>0$ для всех $x$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2 + 4} = 0$. Следовательно, $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = (\frac{2}{x^2 + 4})' = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2}$.
$y' = 0 \implies -4x=0 \implies x=0$.
- При $x > 0$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка глобального максимума. $y(0) = 0.5$. Точка максимума: $(0; 0.5)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
$y'' = (-\frac{4x}{(x^2 + 4)^2})' = \frac{4(3x^2-4)}{(x^2+4)^3}$. (Аналогично п.1).
$y'' = 0 \implies 3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
- При $x \in (-\infty; -2/\sqrt{3}) \cup (2/\sqrt{3}; +\infty)$, $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (-2/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$, $y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).
Точки перегиба: $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.15$. Значение функции в этих точках: $y(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{(4/3)+4} = \frac{2}{16/3} = \frac{3}{8} = 0.375$. Точки перегиба: $(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}; \frac{3}{8})$.

Ответ: Для построения графика (колоколообразная кривая):1. Нарисовать оси координат. Отметить, что ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.2. Отметить точку максимума $(0, 0.5)$ и точки перегиба $(\approx -1.15, 0.375)$ и $(\approx 1.15, 0.375)$.3. Нарисовать правую часть графика для $x \geq 0$: кривая начинается в точке $(0, 0.5)$, убывает, проходит через точку перегиба $(\approx 1.15, 0.375)$ и асимптотически приближается к оси Ox.4. Симметрично отразить нарисованную часть относительно оси Oy.

3) $y = (x - 1)^2 (x + 2)$

Это кубический многочлен. Раскроем скобки: $y = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = 2$. Точка $(0; 2)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (x - 1)^2 (x + 2) = 0$. Корни: $x=1$ (кратность 2) и $x=-2$. Точки $(-2; 0)$ и $(1; 0)$. В точке $(1; 0)$ график касается оси Ox.

4. Асимптоты. Асимптот нет, так как это многочлен. $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
$y' = 0 \implies x = \pm 1$.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
$x=-1$ - точка локального максимума. $y(-1) = (-1-1)^2(-1+2) = 4$. Точка $(-1; 4)$.
$x=1$ - точка локального минимума. $y(1) = (1-1)^2(1+2) = 0$. Точка $(1; 0)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
$y''=0 \implies x=0$.
- При $x > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
$x=0$ - точка перегиба. $y(0) = 2$. Точка перегиба $(0; 2)$.

Ответ: Для построения графика:1. Отметить на осях точки пересечения: $(-2, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 2)$.2. Отметить точки экстремумов: максимум $(-1, 4)$ и минимум $(1, 0)$. Точка $(0,2)$ является точкой перегиба.3. Нарисовать кривую: она приходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-1, 4)$, затем убывает, проходит через точку перегиба $(0, 2)$ и достигает минимума в точке $(1, 0)$, где касается оси Ox. После этого функция снова возрастает и уходит в $+\infty$.

4) $y = x (x - 1)^3$

Это многочлен четвертой степени. $y = x(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x$.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка $(0; 0)$.
С осью Ox: $y=0 \implies x(x-1)^3 = 0$. Корни: $x=0$ и $x=1$ (кратность 3). Точки $(0; 0)$ и $(1; 0)$. В точке $(1; 0)$ график пересекает ось Ox, имея в ней горизонтальную касательную (точка перегиба).

4. Асимптоты. Асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.
$y' = (x(x-1)^3)' = 1 \cdot (x-1)^3 + x \cdot 3(x-1)^2 = (x-1)^2(x-1+3x) = (x-1)^2(4x-1)$.
$y' = 0 \implies x=1$ или $x=1/4$.
Знак производной зависит от знака $(4x-1)$, так как $(x-1)^2 \ge 0$.
- При $x < 1/4$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x > 1/4$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x=1/4$ - точка локального (и глобального) минимума. $y(1/4) = \frac{1}{4}(\frac{1}{4}-1)^3 = \frac{1}{4}(-\frac{3}{4})^3 = -\frac{27}{256} \approx -0.105$. Точка $(\frac{1}{4}; -\frac{27}{256})$.
В точке $x=1$ производная не меняет знак, это не экстремум.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
$y'' = ((x-1)^2(4x-1))' = 2(x-1)(4x-1) + (x-1)^2 \cdot 4 = 2(x-1)(4x-1+2(x-1)) = 2(x-1)(6x-3) = 6(x-1)(2x-1)$.
$y''=0 \implies x=1$ или $x=1/2$.
- При $x \in (-\infty; 1/2) \cup (1; +\infty)$, $y'' > 0$. График выпуклый вниз.
- При $x \in (1/2; 1)$, $y'' < 0$. График выпуклый вверх.
Точки перегиба: $x=1/2$ и $x=1$.
$y(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)^3 = -\frac{1}{16} = -0.0625$. Точка $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{16})$.
$y(1) = 0$. Точка $(1; 0)$.

Ответ: Для построения графика:1. Отметить на осях точки пересечения $(0, 0)$ и $(1, 0)$.2. Отметить точку минимума $(\frac{1}{4}, -\frac{27}{256}) \approx (0.25, -0.11)$ и точки перегиба $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{16}) \approx (0.5, -0.06)$ и $(1, 0)$.3. Нарисовать кривую: она приходит из $+\infty$, убывает, проходит через $(0,0)$, достигает минимума в $(\frac{1}{4}, -\frac{27}{256})$. Затем возрастает, меняет выпуклость в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{16})$, продолжает расти и пересекает ось Ox в точке перегиба $(1, 0)$, после чего уходит в $+\infty$.