Номер 967, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 967, страница 288.

Условие.

967 Доказать, что функция $y = x(1 + 2 \sqrt{x})$ возрастает на всей области определения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что функция возрастает на всей своей области определения, нужно найти ее производную и определить знак этой производной. Если производная положительна на всей области определения, то функция на этой области возрастает.

Нахождение области определения функции

Дана функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$. В состав функции входит выражение $\sqrt{x}$. Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных значений аргумента. Поэтому область определения функции (ОДЗ) задается условием $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $D(y) = [0, +\infty)$.

Нахождение производной функции

Чтобы найти производную, сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$y = x \cdot 1 + x \cdot 2\sqrt{x} = x + 2x \cdot x^{1/2} = x + 2x^{3/2}$

Теперь найдем производную функции $y'$, используя правила дифференцирования суммы и степенной функции ($(u+v)' = u' + v'$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$):

$y' = (x + 2x^{3/2})' = (x)' + (2x^{3/2})' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}x^{(3/2 - 1)} = 1 + 3x^{1/2} = 1 + 3\sqrt{x}$

Анализ знака производной

Мы нашли производную функции: $y' = 1 + 3\sqrt{x}$.

Теперь необходимо исследовать знак производной на области определения $x \in [0, +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения, то есть для любого $x \ge 0$, мы имеем:

$\sqrt{x} \ge 0$

Умножая на 3, получаем:

$3\sqrt{x} \ge 0$

Прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$1 + 3\sqrt{x} \ge 1$

Следовательно, $y' \ge 1$.

Поскольку производная $y'$ всегда больше нуля ($y' > 0$) на всей области определения функции, это означает, что функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Производная функции $y' = 1 + 3\sqrt{x}$ является строго положительной ($y' > 0$) для всех $x$ из области определения $[0, +\infty)$. Согласно достаточному условию возрастания функции, это доказывает, что функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$ возрастает на всей своей области определения.