Номер 3, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя к главе 9 - номер 3, страница 288.

Условие.

3 Построить график функции:

1) $y = 2x^4 - x^2 + 1$;

2) $y = x^3 - 3x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) $y = 2x^4 - x^2 + 1$;

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность.

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:
$y(-x) = 2(-x)^4 - (-x)^2 + 1 = 2x^4 - x^2 + 1 = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy:
Для этого положим $x = 0$: $y(0) = 2(0)^4 - (0)^2 + 1 = 1$.
Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 1)$.

Пересечение с осью Ox:
Для этого положим $y = 0$: $2x^4 - x^2 + 1 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):
$2t^2 - t + 1 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней для $t$. Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней для $x$. График функции не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.

Так как функция является многочленом, у нее нет вертикальных, горизонтальных или наклонных асимптот. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$ (так как старший член $2x^4$ имеет положительный коэффициент и четную степень).

5. Интервалы монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции:
$y' = (2x^4 - x^2 + 1)' = 8x^3 - 2x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$8x^3 - 2x = 0$
$2x(4x^2 - 1) = 0$
$2x(2x-1)(2x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1/2$, $x_3 = -1/2$.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1/2)$, $(-1/2, 0)$, $(0, 1/2)$, $(1/2, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, -1/2)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1/2, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, 1/2)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1/2, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1/2$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. $y(-1/2) = 2(-1/2)^4 - (-1/2)^2 + 1 = 2/16 - 1/4 + 1 = 1/8 - 2/8 + 8/8 = 7/8$.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. $y(0) = 1$.
В точке $x = 1/2$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. $y(1/2) = 7/8$.
Точки экстремума: минимум $(-1/2, 7/8)$, максимум $(0, 1)$, минимум $(1/2, 7/8)$.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:
$y'' = (8x^3 - 2x)' = 24x^2 - 2$.
Найдем точки, где $y'' = 0$:
$24x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2/24 = 1/12 \implies x = \pm 1/\sqrt{12} = \pm 1/(2\sqrt{3}) = \pm \sqrt{3}/6$.
Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, -\sqrt{3}/6)$, $(-\sqrt{3}/6, \sqrt{3}/6)$, $(\sqrt{3}/6, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{3}/6)$, $y'' > 0$, график имеет выпуклость вниз (вогнутый).
• При $x \in (-\sqrt{3}/6, \sqrt{3}/6)$, $y'' < 0$, график имеет выпуклость вверх.
• При $x \in (\sqrt{3}/6, +\infty)$, $y'' > 0$, график имеет выпуклость вниз (вогнутый).

Точки $x = \pm \sqrt{3}/6$ являются точками перегиба. Найдем их ординаты:
$y(\pm \sqrt{3}/6) = 2(1/12)^2 - (1/12) + 1 = 2/144 - 1/12 + 1 = 1/72 - 6/72 + 72/72 = 67/72$.
Точки перегиба: $(\pm \sqrt{3}/6, 67/72)$.

7. Построение графика.

Суммируем полученные данные для построения графика:
- График симметричен относительно оси Oy.
- Точка пересечения с Oy и локальный максимум: $(0, 1)$.
- Точек пересечения с Ox нет.
- Точки локального минимума: $(-0.5, 0.875)$ и $(0.5, 0.875)$.
- Точки перегиба: $(\approx -0.29, \approx 0.93)$ и $(\approx 0.29, \approx 0.93)$.
- График имеет W-образную форму.

Ответ: Исследование функции проведено, ключевые точки и характеристики графика найдены, что позволяет его построить.

---

2) $y = x^3 - 3x$.

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность.

Проверим функцию на четность:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат $(0, 0)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy:
Положим $x = 0$: $y(0) = 0^3 - 3(0) = 0$.
Точка пересечения с осями (и с Oy, и с Ox) — начало координат $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox:
Положим $y = 0$: $x^3 - 3x = 0$.
$x(x^2 - 3) = 0$
$x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$.
Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.
Координаты точек: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты.

Так как функция является многочленом, асимптот нет. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$; при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:
$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки: $y' = 0$.
$3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.
Точки экстремума: максимум $(-1, 2)$, минимум $(1, -2)$.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, где $y'' = 0$: $6x = 0 \implies x = 0$.
Определим знаки второй производной:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $y'' < 0$, график имеет выпуклость вверх.
• При $x \in (0, +\infty)$, $y'' > 0$, график имеет выпуклость вниз (вогнутый).

В точке $x = 0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(0)=0$.
Точка перегиба: $(0, 0)$.

7. Построение графика.

Суммируем полученные данные для построения графика:
- График симметричен относительно начала координат.
- Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.
- Точка локального максимума: $(-1, 2)$.
- Точка локального минимума: $(1, -2)$.
- Точка перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: Исследование функции проведено, ключевые точки и характеристики графика найдены, что позволяет его построить.