Номер 963, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 963, страница 288.

Условие.

963 Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его периметр $P$ и диагональ $d$ определяются следующими формулами:

$P = 2(a + b)$

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

По условию задачи, периметр $P$ является постоянной величиной. Необходимо доказать, что диагональ $d$ принимает наименьшее значение, когда прямоугольник является квадратом, то есть при $a=b$.

Задача минимизации длины диагонали $d$ эквивалентна задаче минимизации квадрата длины диагонали $d^2 = a^2 + b^2$, поскольку функция $f(x)=\sqrt{x}$ является монотонно возрастающей для всех $x \ge 0$.

Представим доказательство двумя способами.

Первый способ: через производную (анализ функции).

Из формулы периметра выразим одну сторону через другую. Обозначим полупериметр как $p = \frac{P}{2}$, тогда $a + b = p$, откуда $b = p - a$. Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон, они должны быть положительными: $a > 0$ и $b = p - a > 0$, что означает $0 < a < p$.

Подставим выражение для $b$ в формулу квадрата диагонали, чтобы получить функцию одной переменной $a$:

$d^2(a) = a^2 + (p - a)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$d^2(a) = a^2 + p^2 - 2pa + a^2 = 2a^2 - 2pa + p^2$

Мы получили квадратичную функцию $f(a) = 2a^2 - 2pa + p^2$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($2 > 0$). Следовательно, эта функция достигает своего минимума в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A=2$ и $B=-2p$.

$a = -\frac{-2p}{2 \cdot 2} = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$

Найдем соответствующее значение для второй стороны $b$:

$b = p - a = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$

Таким образом, минимум диагонали достигается при $a = b = \frac{p}{2}$. Это означает, что прямоугольник должен быть квадратом.

Второй способ: через неравенство о средних.

Рассмотрим выражение для квадрата диагонали $d^2 = a^2 + b^2$. Мы можем преобразовать его, выделив полный квадрат суммы:

$d^2 = a^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = (a+b)^2 - 2ab$

Поскольку сумма $a+b = p$ является постоянной величиной, выражение $d^2 = p^2 - 2ab$ будет минимальным тогда, когда вычитаемое $2ab$ будет максимальным. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума произведения $ab$ при постоянной сумме $a+b=p$.

Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Подставим $a+b=p$ и возведем обе части в квадрат:

$\frac{p}{2} \ge \sqrt{ab} \implies (\frac{p}{2})^2 \ge ab \implies ab \le \frac{p^2}{4}$

Максимальное значение произведения $ab$ равно $\frac{p^2}{4}$ и достигается при $a=b$.

Следовательно, квадрат диагонали $d^2$ минимален, когда $a=b$, то есть когда прямоугольник является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что из всех прямоугольников с заданным периметром наименьшую диагональ имеет квадрат.