Номер 965, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 965, страница 288.

Условие.

965 Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна $600 \text{ см}^2$, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи по оптимизации мы будем использовать дифференциальное исчисление. Пусть $a$ — длина стороны квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, и $h$ — его высота. Все размеры должны быть положительными, то есть $a > 0$ и $h > 0$.

Объем параллелепипеда $V$ определяется как произведение площади основания на высоту:

$V = a^2h$

Площадь полной поверхности $S$ складывается из площади двух оснований (каждое $a^2$) и площади боковой поверхности, которая состоит из четырех одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $h$ (каждый площадью $ah$).

$S = 2 \cdot (\text{площадь основания}) + (\text{площадь боковой поверхности})$

$S = 2a^2 + 4ah$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна 600 см²:

$2a^2 + 4ah = 600$

Чтобы найти максимум функции объема $V(a, h)$, которая зависит от двух переменных, мы выразим одну переменную через другую, используя заданное ограничение. Выразим высоту $h$ через сторону основания $a$ из уравнения для площади поверхности:

$4ah = 600 - 2a^2$

$h = \frac{600 - 2a^2}{4a} = \frac{300 - a^2}{2a}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от одной переменной $a$:

$V(a) = a^2 \cdot \left(\frac{300 - a^2}{2a}\right) = \frac{a(300 - a^2)}{2} = 150a - \frac{1}{2}a^3$

Для нахождения максимального объема найдем производную функции $V(a)$ по переменной $a$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$V'(a) = \frac{d}{da}\left(150a - \frac{1}{2}a^3\right) = 150 - \frac{3}{2}a^2$

Приравняем производную к нулю:

$150 - \frac{3}{2}a^2 = 0$

$\frac{3}{2}a^2 = 150$

$a^2 = \frac{150 \cdot 2}{3} = 100$

$a = \sqrt{100} = 10$ (мы выбираем положительный корень, так как $a$ — это длина стороны).

Чтобы убедиться, что при $a=10$ см объем достигает максимума, а не минимума, мы можем использовать вторую производную:

$V''(a) = \frac{d}{da}\left(150 - \frac{3}{2}a^2\right) = -3a$

При $a=10$, значение второй производной $V''(10) = -3(10) = -30$. Поскольку $V''(10) < 0$, точка $a=10$ является точкой максимума для функции объема.

Теперь, когда мы нашли сторону основания $a$, найдем высоту $h$:

$h = \frac{300 - a^2}{2a} = \frac{300 - 10^2}{2 \cdot 10} = \frac{300 - 100}{20} = \frac{200}{20} = 10$ см.

Таким образом, параллелепипед с наибольшим объемом при заданной площади поверхности является кубом с ребром 10 см. Его максимальный объем составляет:

$V = a^2h = 10^2 \cdot 10 = 1000$ см³.

Ответ: Параллелепипед наибольшего объема — это куб с ребром 10 см.