Номер 966, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 966, страница 288.

Условие.

966 Доказать, что функция $y = 1.8x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12.5$ возрастает на всей области определения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что функция возрастает на всей своей области определения, нужно найти ее производную и показать, что она положительна для любого значения аргумента $x$ из области определения.

Исходная функция: $y = 1,8x^5 - 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12,5$.

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, так как это многочлен (полином): $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $y'(x)$. Для удобства представим десятичную дробь и смешанное число в виде обыкновенных дробей:$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$Тогда функция имеет вид: $y(x) = \frac{9}{5}x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12,5$.

Теперь вычисляем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:$y'(x) = (\frac{9}{5}x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12,5)' = \frac{9}{5} \cdot 5x^4 - \frac{7}{3} \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 + 0 = 9x^4 - 7x^2 + 7$.

Далее необходимо исследовать знак производной $y'(x) = 9x^4 - 7x^2 + 7$.Это биквадратное выражение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.Получим квадратный трехчлен относительно $t$:$f(t) = 9t^2 - 7t + 7$.

Чтобы определить знак этого выражения, найдем его дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 49 - 252 = -203$.

Поскольку дискриминант $D = -203 < 0$ и старший коэффициент $a = 9 > 0$, то парабола $f(t) = 9t^2 - 7t + 7$ не пересекает ось абсцисс и ее ветви направлены вверх. Это означает, что квадратный трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном значении $t$.

Так как $t = x^2$, то и выражение $y'(x) = 9(x^2)^2 - 7x^2 + 7$ всегда будет положительным для любого действительного значения $x$.$y'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку производная функции положительна на всей области определения, это означает, что исходная функция $y(x)$ строго возрастает на всей области определения. Утверждение доказано.

Ответ: Производная функции $y'(x) = 9x^4 - 7x^2 + 7$ всегда положительна, так как она представляет собой квадратный трехчлен относительно $x^2$ с положительным старшим коэффициентом и отрицательным дискриминантом. Следовательно, функция $y = 1,8x^5 - 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12,5$ возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.