Номер 5, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя к главе 9 - номер 5, страница 288.

Условие.

5 Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Пусть стороны прямоугольного основания параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота равна $h$.

Согласно условию задачи, высота $h = 3$ м, а периметр основания $P = 8$ м.

Периметр прямоугольного основания вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим известное значение: $8 = 2(a + b)$ Разделив обе части на 2, получим: $a + b = 4$

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$: $V = S_{осн} \cdot h = a \cdot b \cdot h$ Подставив значение высоты $h=3$, получим: $V = 3ab$

Задача сводится к нахождению максимального значения произведения $ab$ при условии, что сумма $a+b=4$. Выразим одну из сторон, например $b$, через $a$: $b = 4 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от одной переменной $a$: $V(a) = 3a(4 - a) = 12a - 3a^2$ Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон, они должны быть положительными: $a > 0$ и $b = 4 - a > 0$, откуда следует, что $a < 4$. Таким образом, мы ищем максимум функции $V(a)$ на интервале $(0, 4)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $V(a)$ по переменной $a$ и приравняем её к нулю: $V'(a) = (12a - 3a^2)' = 12 - 6a$

Приравняем производную к нулю: $12 - 6a = 0$ $6a = 12$ $a = 2$

Мы нашли критическую точку $a = 2$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак второй производной: $V''(a) = (12 - 6a)' = -6$ Поскольку $V''(a) < 0$, точка $a=2$ является точкой максимума.

Теперь найдем длину второй стороны основания $b$: $b = 4 - a = 4 - 2 = 2$ м. Следовательно, объём будет наибольшим, когда основание параллелепипеда является квадратом.

Ответ: стороны основания должны быть равны 2 м и 2 м.