Номер 969, страница 288 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 969, страница 288.

Условие.

969 На рисунке 148 изображён график функции $y = g (x)$, являющейся производной функции $y = f (x)$. Найти:

1) интервалы возрастания и убывания функции $y = f (x)$;

2) точки экстремума функции $y = f (x)$;

3)* точки перегиба функции $y = f (x)$.

a)

б)

Рис. 148

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

a)

1) интервалы возрастания и убывания функции $y = f(x)$

Функция $y = f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) = g(x)$ положительна (график $g(x)$ расположен выше оси абсцисс), и убывает на тех промежутках, где ее производная отрицательна (график $g(x)$ расположен ниже оси абсцисс). Из графика видно, что $g(x) > 0$ на интервалах $(x_1, x_3)$ и $(x_5, x_7)$, а $g(x) < 0$ на интервалах $(-\infty, x_1)$, $(x_3, x_5)$ и $(x_7, +\infty)$. Принято включать концы интервалов, в которых функция непрерывна, в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[x_1, x_3]$ и $[x_5, x_7]$; функция убывает на промежутках $(-\infty, x_1]$, $[x_3, x_5]$ и $[x_7, +\infty)$.

2) точки экстремума функции $y = f(x)$

Точки экстремума функции $f(x)$ — это точки, в которых ее производная $f'(x) = g(x)$ равна нулю и меняет свой знак.

• В точке $x = x_1$ производная $g(x)$ меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, $x_1$ — точка локального минимума.
• В точке $x = x_3$ производная $g(x)$ меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, $x_3$ — точка локального максимума.
• В точке $x = x_5$ производная $g(x)$ меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, $x_5$ — точка локального минимума.
• В точке $x = x_7$ производная $g(x)$ меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, $x_7$ — точка локального максимума.

Ответ: точки минимума — $x_1, x_5$; точки максимума — $x_3, x_7$.

3)* точки перегиба функции $y = f(x)$

Точки перегиба функции $f(x)$ — это точки, в которых меняется направление выпуклости графика функции. Это происходит там, где вторая производная $f''(x)$ меняет знак. Поскольку $f''(x) = (f'(x))' = g'(x)$, точки перегиба функции $f(x)$ соответствуют точкам экстремума (максимума или минимума) ее производной $g(x)$. Из графика видно, что функция $g(x)$ имеет экстремумы в точках $x_2, x_4, x_6, x_8$.

Ответ: точки перегиба функции $f(x)$ — это $x_2, x_4, x_6, x_8$.

б)

1) интервалы возрастания и убывания функции $y = f(x)$

Аналогично пункту а), анализируем знак производной $f'(x) = g(x)$ по ее графику. Будем считать, что функция $f(x)$ определена на отрезке $[-10, 7]$. Из графика видно, что $g(x) > 0$ на интервалах $(-8, -4)$, $(0, 4)$ и $(6, 7]$. $g(x) < 0$ на интервалах $[-10, -8)$, $(-4, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-8, -4]$, $[0, 4]$ и $[6, 7]$; функция убывает на промежутках $[-10, -8]$, $[-4, 0]$ и $[4, 6]$.

2) точки экстремума функции $y = f(x)$

Точки экстремума — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю и меняет знак.

• В точке $x = -8$ производная $g(x)$ меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=-8$ — точка минимума.
• В точке $x = -4$ производная $g(x)$ меняет знак с «+» на «–», следовательно, $x=-4$ — точка максимума.
• В точке $x = 0$ производная $g(x)$ меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=0$ — точка минимума.
• В точке $x = 4$ производная $g(x)$ меняет знак с «+» на «–», следовательно, $x=4$ — точка максимума.
• В точке $x = 6$ производная $g(x)$ меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=6$ — точка минимума.

Ответ: точки минимума — $-8, 0, 6$; точки максимума — $-4, 4$.

3)* точки перегиба функции $y = f(x)$

Точки перегиба функции $f(x)$ соответствуют точкам экстремума ее производной $g(x) = f'(x)$. Из графика видно, что функция $g(x)$ достигает своих локальных экстремумов в точках $x = -6$ (минимум), $x = -3$ (максимум), $x = -1$ (минимум), $x = 2$ (максимум) и $x = 5$ (минимум).

Ответ: точки перегиба функции $f(x)$ — это $-6, -3, -1, 2, 5$.