Номер 976, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 976, страница 289.

Условие.

976 Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса $R$ так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Расположим центр полукруга в начале координат (0, 0), а его диаметр — на оси абсцисс (Ox). В этом случае уравнение дуги полукруга, лежащей в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), будет $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — это заданный радиус.

Прямоугольник вписан в полукруг так, что одна его сторона лежит на диаметре. Пусть длина этой стороны равна $2x$. Тогда, в силу симметрии, вершины прямоугольника, лежащие на диаметре, будут иметь координаты $(-x, 0)$ и $(x, 0)$. Две другие вершины будут лежать на дуге полукруга, их координаты будут $(-x, y)$ и $(x, y)$, где $y$ — высота прямоугольника.

Поскольку вершина $(x, y)$ лежит на дуге полукруга, ее координаты должны удовлетворять уравнению $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда можно выразить высоту прямоугольника $y$ через половину его основания $x$: $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. При этом $x$ может принимать значения в интервале $(0, R)$.

Площадь прямоугольника $S$ является произведением длин его сторон и может быть выражена как функция от $x$:
$S(x) = (2x) \cdot y = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$.

Нам необходимо найти максимальное значение этой функции. Для упрощения вычислений можно искать максимум не самой функции $S(x)$, а её квадрата, так как $S(x) > 0$ на рассматриваемом интервале, и максимум $S(x)$ будет достигаться при том же значении $x$, что и максимум $S(x)^2$.

Обозначим $f(x) = S(x)^2$:
$f(x) = (2x\sqrt{R^2 - x^2})^2 = 4x^2(R^2 - x^2) = 4R^2x^2 - 4x^4$.

Чтобы найти точки экстремума, найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю:
$f'(x) = (4R^2x^2 - 4x^4)' = 8R^2x - 16x^3$.

$f'(x) = 0 \implies 8R^2x - 16x^3 = 0$
$8x(R^2 - 2x^2) = 0$.

Это уравнение имеет решения $x=0$ (что соответствует прямоугольнику с нулевой площадью) и $R^2 - 2x^2 = 0$.
Из второго уравнения находим: $2x^2 = R^2 \implies x^2 = \frac{R^2}{2}$. Так как $x$ — это длина, нас интересует только положительное решение: $x = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

Найденное значение $x = \frac{R}{\sqrt{2}}$ является точкой максимума, поскольку на границах интервала (при $x \to 0$ и $x \to R$) площадь стремится к нулю, а функция непрерывна и имеет единственную критическую точку внутри интервала.

Теперь вычислим соответствующую высоту $y$ и максимальную площадь $S_{max}$.
Высота $y$:
$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{2}} = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

Максимальная площадь:
$S_{max} = 2x \cdot y = 2 \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{R^2}{2} = R^2$.

Ответ: $R^2$.