Номер 982, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 9. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе 9 - номер 982, страница 290.

Условие.

982 Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен $k$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $m$ — масса груза, $g$ — ускорение свободного падения, $P = mg$ — сила тяжести, действующая на груз. Обозначим искомую силу как $F$, а угол, который она образует с горизонтальной плоскостью, как $\alpha$. Коэффициент трения груза о плоскость по условию равен $k$.

На груз, лежащий на горизонтальной плоскости, действуют четыре силы:

• сила тяжести $P=mg$, направленная вертикально вниз;
• сила реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх;
• приложенная сила $F$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту;
• сила трения $F_{тр}$, направленная горизонтально, в сторону, противоположную возможному движению.

Для анализа сил введем систему координат: ось $Ox$ направим горизонтально, а ось $Oy$ — вертикально. Разложим приложенную силу $F$ на две составляющие: горизонтальную $F_x = F \cos \alpha$ и вертикальную $F_y = F \sin \alpha$.

Чтобы сдвинуть груз с места, необходимо преодолеть силу трения покоя. Условие начала движения — это равенство горизонтальной составляющей приложенной силы и максимальной силы трения покоя. Запишем уравнения равновесия сил в проекциях на оси координат для предельного случая, когда груз вот-вот начнет движение.

Сумма проекций сил на вертикальную ось $Oy$ равна нулю: $N + F_y - P = 0$ $N + F \sin \alpha - mg = 0$ Из этого уравнения выразим силу реакции опоры $N$: $N = mg - F \sin \alpha$

Сумма проекций сил на горизонтальную ось $Ox$ также равна нулю в момент перед началом движения. Горизонтальная составляющая силы $F_x$ уравновешивается максимальной силой трения покоя $F_{тр.макс} = k \cdot N$: $F_x - F_{тр.макс} = 0$ $F \cos \alpha = k \cdot N$

Теперь подставим выражение для силы реакции опоры $N$ во второе уравнение: $F \cos \alpha = k (mg - F \sin \alpha)$

Выразим из этого уравнения величину силы $F$ как функцию угла $\alpha$: $F \cos \alpha = k \cdot mg - k F \sin \alpha$ $F \cos \alpha + k F \sin \alpha = k \cdot mg$ $F (\cos \alpha + k \sin \alpha) = k \cdot mg$ $F(\alpha) = \frac{k \cdot mg}{\cos \alpha + k \sin \alpha}$

Нам необходимо найти угол $\alpha$, при котором величина силы $F$ будет наименьшей. Поскольку числитель дроби ($k \cdot mg$) является постоянной величиной, значение $F$ будет минимальным, когда знаменатель, функция $f(\alpha) = \cos \alpha + k \sin \alpha$, будет максимальным.

Чтобы найти максимум функции $f(\alpha)$, найдем ее производную по $\alpha$ и приравняем ее к нулю: $f'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha}(\cos \alpha + k \sin \alpha) = -\sin \alpha + k \cos \alpha$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума: $-\sin \alpha + k \cos \alpha = 0$ $k \cos \alpha = \sin \alpha$

Разделим обе части уравнения на $\cos \alpha$ (мы можем это сделать, так как $\alpha \neq 90^\circ$, иначе сила была бы направлена вертикально и не могла бы сдвинуть груз по горизонтали, то есть $\cos \alpha \neq 0$): $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = k$ $\tan \alpha = k$

Таким образом, наименьшая сила для сдвига груза требуется в том случае, когда тангенс угла ее приложения к горизонту равен коэффициенту трения.

Ответ: Угол $\alpha$, образуемый силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, определяется из соотношения $\tan \alpha = k$, то есть $\alpha = \arctan(k)$.