Номер 986, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 54. Первообразная - номер 986, страница 293.

Условие.

986. Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$:

1) $f(x) = x$, $M(-1; 3)$;

2) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(9; 10)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $f(x) = x$ и точки $M(-1; 3)$.

Задача состоит в том, чтобы найти такую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку $M$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = x$. Первообразная находится путем интегрирования функции:

$F(x) = \int f(x)dx = \int x dx$

Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Мы получили семейство всех первообразных для функции $f(x) = x$.

Теперь нам нужно найти конкретное значение константы $C$, используя условие, что график первообразной проходит через точку $M(-1; 3)$. Это означает, что при $x = -1$ значение функции $F(x)$ должно быть равно $3$, то есть $F(-1) = 3$.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение для $F(x)$:

$3 = \frac{(-1)^2}{2} + C$

$3 = \frac{1}{2} + C$

Теперь решим это уравнение относительно $C$:

$C = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Подставив найденное значение $C$ обратно в общий вид первообразной, мы получаем искомую функцию:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2}$

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2}$

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$ и точки $M(9; 10)$.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \sqrt{x}$. Для удобства интегрирования представим корень в виде степени:

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$

Теперь найдем интеграл:

$F(x) = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

Мы получили семейство первообразных $F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(9; 10)$, то есть $F(9) = 10$.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение для $F(x)$:

$10 = \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + C$

Вычислим значение $9^{\frac{3}{2}}$:

$9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$10 = \frac{2}{3} \cdot 27 + C$

$10 = 2 \cdot 9 + C$

$10 = 18 + C$

Решим уравнение относительно $C$:

$C = 10 - 18 = -8$

Подставив найденное значение $C = -8$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 8$

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 8$